DeducciónInterpolaciónmedio

Deducción: funciones base de Lagrange

Cómo la exigencia de valer 1 en un nodo y 0 en los demás obliga a la forma de producto de las funciones $L_i$ .

De la propiedad cardinal a la fórmula

Queremos $L_i(x)$ que valga 0 en todos los nodos salvo $x_i$ . Para anularse en $x_j$ ( $j\ne i$ ) basta con incluir el factor $(x-x_j)$ por cada uno:
$\text{numerador}=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}(x-x_j)$
Ese producto vale algo (no 1) en $x_i$ . Para normalizarlo a 1 dividimos por su valor en $x_i$ , que es el mismo producto evaluado ahí:
$L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
Así $L_i(x_i)=1$ y $L_i(x_j)=0$ . La combinación $\sum_i L_i(x)\,f(x_i)$ reproduce cada dato, luego interpola.