Ejercicio: error de la aproximación sen x ≈ x
Cálculo del error numérico y porcentual al aproximar por .
Ejercicios resueltos
Problemas trabajados con datos concretos y su solución detallada.
Fundamentos
Ejercicio: error iterativo con e^0.5
Aproximación de por su serie de Taylor añadiendo términos hasta que el error iterativo porcentual baja del 0.05 %.
Ejercicio: Taylor de cos(x) hasta orden 3
Desarrollo en serie de Taylor de cos(x) alrededor de cero tomando términos hasta orden 3.
Interpolación
Ejercicio: Hermite con la función de Bessel
Construcción completa del polinomio de Hermite de grado 5 con tres nodos para aproximar , paso a paso.
Ejercicio: Newton con datos de población
Tabla de diferencias divididas completa para el censo 1971–2011 y estimación de la población en 2005 con el polinomio de Newton de grado 4.
Ejercicio: Lagrange con datos de población
Construcción de las funciones base de Lagrange para el censo 1971–2011 y estimación de la población en 2005, comparada con Newton.
Diferenciación
Ejercicio: comparar fórmulas de la derivada
Cálculo de para con las seis fórmulas de diferencias finitas y comparación de sus errores frente al valor exacto .
Ejercicio: Richardson sobre ln(x)
Aproximación de para con diferencias progresivas y mejora a mediante extrapolación de Richardson.
Integración
Ejercicio: trapecio y Simpson en una integral suave
Aproximación de la integral de entre 0 y con 4 y 8 subintervalos, comparando errores.
Ejercicio: trapecio y punto medio
Comparación de trapecio compuesto, punto medio simple y punto medio compuesto, con errores absolutos y relativos.
Ejercicio: trabajo con datos tabulados
Cálculo del trabajo integrando F(x)cos(alpha(x)) a partir de una tabla, con trapecio, Simpson y punto medio.
Ejercicio: Gauss-Legendre en un intervalo general
Cambio de variable de [1,1.5] a [-1,1] y aplicación de Gauss-Legendre con n=2 y n=3.
Ejercicio: Gauss-Chebyshev y cota de error
Determinar cuántos nodos garantizan seis decimales en una integral con peso de Chebyshev.
Ejercicio: integral doble con Gauss-Legendre
Transformar un rectángulo a [-1,1]×[-1,1] y resolver una integral doble con n=m=3.
Ejercicio: integral doble de una superficie
Comparación entre Simpson doble y Gauss-Legendre para una integral derivada de la semiesfera .
EDO
Ejercicio: Euler y RK4 a mano en una EDO de primer orden
Despejar y'=f(t,y) en una EDO dada en forma implícita y aproximar y(3) con dos pasos de Euler y con un paso de RK4, comparando ambos resultados.
Ejercicio: EDO de segundo orden como sistema, a mano
Reducir y''−sin y=0 a un sistema de primer orden y aproximar y(3) con dos pasos de Euler y con un paso de RK4 vectorial.
Ejercicio: estimación numérica del orden (Euler, Heun, RK4)
Sobre el mismo PVI logístico se estima el orden de Euler con la solución exacta, el de Heun comparando mallas sucesivas sin solución exacta, y el de RK4, confirmando los órdenes 1, 2 y 4.
Ejercicio: estabilidad de Euler explícito e implícito
Análisis completo de : factor de amplificación de cada método, condición de estabilidad del explícito, estabilidad incondicional del implícito y comprobación numérica con .
Ejercicio: el modelo SIR con Euler, Heun y RK4
Integración del sistema epidémico SIR con los tres métodos de un paso sobre la misma malla, comparando cómo el orden del método cambia visiblemente los resultados.
Ejercicio: AB2 y estimación del orden
Resolución de un PVI logístico (Verhulst) con AB2 arrancado con Heun y estimación numérica del orden duplicando el número de subintervalos.
Ejercicio: explícitos frente a predictor-corrector
Comparación del error máximo de AB2, AB4 y los predictor-corrector ABM2 y ABM4 sobre el mismo PVI de Verhulst.
Sistemas lineales
Ejercicio: Jacobi y Gauss-Seidel comparados
Resolución de un sistema 4×4 con Jacobi y con Gauss-Seidel desde x⁰=0, comparando cuántas iteraciones necesita cada uno para la misma tolerancia.
Ejercicio: convergencia por radio espectral
Una matriz no diagonal dominante donde Jacobi diverge pero Gauss-Seidel converge, decidido calculando el radio espectral de cada matriz de iteración.
Ecuaciones no lineales
Ejercicio: bisección a mano
Seis iteraciones de bisección para cos²x−x=0 en [0,1], con la cadena de intervalos, la cota de error en cada paso y la predicción del número de iteraciones necesarias.
Ejercicio: Newton sobre x=cos²x
Aplicación completa del método de Newton a x=cos²x desde x0=0.3: tabla de iterados, residuos, incrementos y ACOC tendiendo al orden teórico 2.
Ejercicio: la secante a mano
El método de la secante aplicado a cos²x−x=0 desde x0=0, x1=1: cinco iteraciones con las diferencias divididas explícitas y la convergencia superlineal a la vista.
Ejercicio: comparativa numérica de métodos iterativos
Newton, Halley, Ostrowski, Traub, punto medio, Jarratt y Newton doble sobre funciones de prueba con tolerancia 10⁻¹⁰⁰: iteraciones, residuos y ACOC confirmando los órdenes teóricos.
Sistemas no lineales
Ejercicio: Newton para un sistema, a mano
Dos pasos de Newton a mano sobre el sistema , : montaje del jacobiano, resolución del sistema lineal de cada paso y convergencia cuadrática visible hacia .
Ejercicio: Newton en un sistema 2×2 con tabla de iteraciones
Resolución completa de , con Newton desde : tabla de iterados, normas del residuo e incremento, y ACOC estabilizándose en 2.
Ejercicio: comparativa numérica en sistemas
Newton, Trapecios, Golden Ratio, NA, Jarratt y RN sobre dos sistemas de prueba con tolerancia 10⁻¹²: iteraciones, normas y ACOC, con RN (orden 6) como método más eficaz.