Erroreak kalkulu numerikoan
Zergatik den soluzio numeriko oro hurbildua, errore-familia biak (biribiltzea eta trunkatzea) eta nola neurtu: errore numerikoa, ehunekokoa eta iteratiboa.
Teoria gidak
Definizio, teorema, frogapen eta ebatzitako adibideekin egindako azalpenak, gaiz gai.
Oinarriak
Zifra esanguratsuak eta biribiltzea
Nola zenbatu zifra esanguratsuak 1 baino handiago eta txikiagoko zenbakietarako eta notazio zientifikoan, eta nondik datozen makina baten biribiltze-erroreak.
Taylor eta trunkatze-errorea
Taylor-en teorema eta bere hondarra, zergatik den hondarra trunkatze-errorea, eta nola sortzen diren hemendik ikasgai osoak erabiliko dituen diferentzia finituak.
Interpolazioa
Interpolazioa: ideia, existentzia eta errorea
Zer den interpolatzea, zergatik erabiltzen diren polinomioak, Weierstrass-en teorema, polinomio interpolatzailearen bakartasuna eta Newton, Lagrange eta Hermiterentzat komuna den errore-kota.
Newtonen interpolazioa eta diferentzia zatituak
Newtonen polinomioa geruzaka eraikia diferentzia zatituekin: forma lineala, koadratikoa eta orokorra, diferentzien taula, errorea eta datu errealekin ebatzitako adibide bat.
Lagrangeren interpolazioa
Lagrangeren oinarri-funtzioak, definitzen dituen propietate kardinala, polinomioa datuen konbinazio zuzen gisa, haren errorea eta erroldako datuekin ebatzitako adibide bat.
Hermiteren interpolazioa
Nodo bakoitzean balioa eta deribatua inposatzen dituen interpolazioa: polinomioa, Lagrangeren oinarrietatik eraikia, errorea, nodo errepikatuen bidezko bide praktikoa eta Bessel funtzioekin adibide bat.
Spline kubikoak
Zatikako interpolazioa tarte bakoitzeko kubiko batekin: jarraitutasun-baldintzak, koefizienteak zehazten dituen sistema tridiagonala, spline naturalak eta haien ebazpena.
Deribazioa
Diferentzia finituak: lehen deribatua
Lehen deribatuaren formula progresiboa, erregresiboa eta zentrala, hiru eta bost puntuko bertsioak, errorearen ordena eta harritzen duen konparazio numeriko bat.
Ordena handiagoko deribatuak
Bigarren (eta hirugarren) deribatuaren hurbilketak diferentzia finitu progresibo, erregresibo eta zentralen bidez, beren errore-ordenarekin.
Richardson-en estrapolazioa
Nola konbinatu bi hurbilketa eta pausuekin errore-termino nagusia ezabatzeko eta ordena igotzeko, termino guztietarako eta berretura bikoitietarako formulekin.
Integrazioa
Zenbakizko koadratura Lagrangetik
Zenbakizko integrazioaren ideia orokorra: integrala funtzioaren balioen batura haztatu baten bidez hurbiltzea, Lagrangeren polinomioa integratuz lortua.
Newton-Cotes itxiak: trapezioa, Simpson eta gehiago
Muturrak barne hartzen dituzten nodo ekidistanteetarako erregela itxiak: trapezioa, Simpson 1/3, Simpson 3/8, Milne eta haien erroreak.
Newton-Cotes irekiak eta erdiko puntua
Tartearen muturrak saihesten dituzten erregela irekiak, erdiko puntu sinpleari eta konposatuari arreta berezia jarrita.
Gaussen koadraturak
Gaussen koadraturek polinomio ortogonalen bidez nodo eta pisu optimoak nola aukeratzen dituzten: Legendre, Chebyshev, Laguerre eta Hermite.
Zenbakizko integrazio anizkoitza
Nola hedatzen diren trapezioa, Simpson eta Gauss-Legendre integral bikoitzetara produktu-erregelen eta aldaketa aldagaien bidez.
EDA
Hasierako balioko problemak
Zer den PVI bat, noiz duen soluzio bakarra (Lipschitz baldintza), nola diskretizatzen den, eta sistemak eta ordena handiagoko ekuazioak nola murrizten diren eskema berera.
Euler-en metodoa
Urrats bakarreko metodorik sinpleena: uneko nodoaren maldarekin aurrera egitea. Dedukzio osoa hiru bidetatik (Taylor, zatidura inkrementala eta integrazioa), ordena, eskuzko adibidea eta aldaera inplizitua.
Heun-en metodoa
Hasierako malda eta iragarritako malda bat batez bestekotzeak 2. ordenako metodoa ematen du. Dedukzio osoa bigarren ordenako Taylor bidez eta trapezio-erregelaren bidez, Euler-en iragarpenarekin.
Runge-Kutta metodoa (RK4)
Runge-Kutta klasikoak lau malda konbinatzen ditu pauso bakoitzeko, 4. ordena lortzeko. Dedukzio osoa Simpson-en erregelatik abiatuta eta EDO sistemetarako hedapen zuzena.
Konbergentzia, kontsistentzia eta ordena
Trunkamendu-errore lokala eta globala, konbergentziaren eta kontsistentziaren definizioa, urrats bakarreko metodoen ordena teorikoak eta ordena numerikoki nola estimatu, soluzio zehatzarekin edo gabe.
Adams-Bashforth metodoak
EDO integratzen duten urrats anitzeko metodo esplizituak, f dagoeneko kalkulatutako nodoetako interpolazio-polinomioaz hurbilduz: AB2-ren dedukzio osoa Lagrangerekin, AB3 eta AB4 formulak, beren ordena eta nola abiarazi.
Adams-Moulton metodoak
Interpolazioan nodo berria sartzen duten urrats anitzeko metodo inplizituak: AM2-ren dedukzio osoa (trapezio inplizitua), AM4, zergatik eskatzen duten ekuazio ez-lineal bat ebaztea eta zer irabazten duten trukean.
Iragarle-zuzentzaile metodoak
Metodo esplizitu bat (iragarlea) ordena bereko inplizitu batekin (zuzentzailea) konbinatzea, inplizituaren doitasuna eta egonkortasuna izateko ekuaziorik ebatzi gabe: ABM2 eta ABM4.
Problema zurrunak eta egonkortasuna
Zerk egiten duen EDO bat zurrun, zergatik bihurtzen diren ezegonkor metodo esplizituak puntu gutxirekin, eta zergatik hobesten diren metodo inplizituak, ordena baxukoak eta pausu moldakorrekoak.
Sistema linealak
Sistema linealak: errorea, hondarra eta baldintza
Metodo zuzenak vs iteratiboak Ax=b-rako, errorearen eta hondarraren arteko aldea, hondarraren araberako gelditze-irizpidea eta zergatik baldintza-zenbakiak erabakitzen duen fidagarria den.
Jacobi metodoa
A=L+D+U partizioa, Jacobi definitzen duen M=D aukera, bere osagaien araberako eskema iteratiboa eta ebatzitako adibide bat.
Gauss-Seidel metodoa
M=D+L aukera, iterazio berean kalkulatu berri den osagai bakoitza berrerabiltzen duena, eta zergatik Jacobi baino azkarrago konbergitu ohi duen.
Konbergentzia eta erradio espektrala
Konbergentzia erabakitzen duen baldintza, diagonal hertsiki nagusiaren irizpide nahikoa eta abiadura neurtzen duen konbergentzia-erradioa.
Gain-erlaxazio metodoak (SOR)
Nola ω erlaxazio-parametro batek metodo klasikoak azkartzen dituen: Jacobi erlaxatua (JSOR) eta SOR, Gauss-Seidel orokortzen duena (ω=1).
Ekuazio ez-linealak
Ekuazio ez-linealak: problema eta metodo iteratiboak
ebazteak zer esan nahi duen, zergatik jotzen den metodo iteratiboetara, nola sailkatzen diren (memoria, puntuak, deribatuak) eta zein irizpiderekin gelditzen den iterazioa.
Bisekzio-metodoa
Metodorik sendoena: erroa gordetzen duen tartea bitan zatitu eta zeinua aldatzen den erdiarekin geratu. Errore-kota esplizitua eta konbergentzia bermatua.
Puntu finkoko iterazioa
berridatzi gisa eta iteratu: noiz konbergitzen duen (), zein abiaduratan, eta metodoaren ordena -ren zein deribatu anulatzen diren soluzioan ematen duen teorema.
Newton-Raphson metodoa
Erreferentziazko metodo iteratiboa: f linealizatu uneko iteratuan eta tangentearen errora jauzi egin. Dedukzio osoa hiru bidetatik eta ordena koadratikoaren frogapena bere errore-ekuazioarekin.
Deribatu gabeko metodoak: sekantea eta Steffensen
eskuragarri ez dagoenean diferentzia zatitu batez ordezkatzen da: aurreko bi iteraturekin (sekantea, ordena ) edo ebaluazio laguntzaile batekin (Steffensen, 2. ordena).
Konbergentzia-ordena eta eraginkortasuna
Konbergentzia-ordenaren eta errore-ekuazioaren definizioa, haien COC eta ACOC estimatzaile konputazionalak, eraginkortasun-indizeak eta metodo optimoak definitzen dituen Kung-Traub aierua.
Ordena altuko metodoak: Halley, Traub, Ostrowski eta Jarratt
Newton baino metodo iteratibo azkarragoak diseinatzeko hiru teknika: kuadratura-formulak, eskemen konposizioa (deribatu izoztuarekin) eta pisu-funtzioak, Chebyshev-Halley eta King familiekin.
Sistema ez-linealak
Ekuazio ez-linealen sistemak
problema aldagai anitzetan: puntu finkoko metodo bektorialak, konbergentzia-ordena normekin, ACOC multidimentsionala eta gelditze-irizpideak.
Newton sistema ez-linealetarako
Newton-en metodoaren bertsio bektoriala: deribatua matrize jacobiarra bihurtzen da, zatidura iterazio bakoitzeko sistema lineal bat bihurtzen da, eta ordena koadratikoa mantentzen da.
Kostua eta eraginkortasuna n dimentsioan
Iterazio bakoitzeko kostuaren kontabilitatea sistemetan: ebaluazio bakoitzeko, jacobiar bakoitzeko, sistema linealen kostua, eraginkortasun-indizeak eta optimalitate-aieru multidimentsionala.
Ordena altua sistemetan: Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt eta RN
Newton-ekin konposatzea eta jacobiar izoztua: nola irabazi ordena bat konposizioz jacobiar berririk ebaluatu gabe, eta Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt bektoriala eta RN (5-6 ordena) familiak.