GidaEkuazio ez-linealakertaina

Deribatu gabeko metodoak: sekantea eta Steffensen

f′f' eskuragarri ez dagoenean diferentzia zatitu batez ordezkatzen da: aurreko bi iteraturekin (sekantea, ordena ≈1.618\approx1.618) edo ebaluazio laguntzaile batekin (Steffensen, 2. ordena).

Deribatua ordezkatu

ff-ren deribatua ezagutzen ez bada edo ebaluatzea garestia bada, errezeta orokorra da Newton-en formulan diferentzia zatitu batez ordezkatzea. Zein puntu erabiltzen diren arabera bi metodo klasiko agertzen dira.

Sekantearen metodoa

Sekanteak f′(xk)f'(x_k) azken bi iteratuen arteko maldaz hurbiltzen du, f[xk,xk−1]=f(xk)−f(xk−1)xk−xk−1f[x_k,x_{k-1}]=\frac{f(x_k)-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}: memoriadun metodoa da eta hasierako bi estimazio behar ditu.

xk+1=xk−f(xk)f[xk,xk−1],k=1,2,…x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f[x_k,x_{k-1}]},\qquad k=1,2,\dots
Sekantearen metodoa.

Steffensen-en metodoa

Steffensen-ek memoria saihesten du ff funtzioarekin berarekin eraikitako puntu laguntzaile batean ebaluatuz: f′(xk)≈f(xk+f(xk))−f(xk)f(xk)f'(x_k)\approx\frac{f(x_k+f(x_k))-f(x_k)}{f(x_k)} hurbiltzen du. Newton-en ordezkatuz:

xk+1=xk−f(xk)2f(xk+f(xk))−f(xk),k=0,1,2,…x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)^2}{f\bigl(x_k+f(x_k)\bigr)-f(x_k)},\qquad k=0,1,2,\dots
Steffensen-en metodoa: 2. ordena deribaturik gabe.

Newton-en 2. ordena mantentzen du f′f' erabili gabe, iterazio bakoitzeko ff-ren bi ebaluazioren truke. Deribatuak diferentzia zatituez ordezkatzeko ideia bera berriro agertzen da sistema ez-linealak ebaztean.