GidaEkuazio ez-linealakoinarrizkoa

Bisekzio-metodoa

Metodorik sendoena: erroa gordetzen duen tartea bitan zatitu eta zeinua aldatzen den erdiarekin geratu. Errore-kota esplizitua eta konbergentzia bermatua.

Ideia: erroa inguratu

Bisekzio-algoritmoa

  1. Uneko tartearen erdiko puntua kalkulatzen da: mk=ak+bk2m_k=\frac{a_k+b_k}{2}.

  2. f(ak) f(mk)<0f(a_k)\,f(m_k)<0 bada, erroa ezkerreko erdian dago: tarte berria [ak,mk][a_k,m_k] da. Bestela [mk,bk][m_k,b_k]-n dago. (f(mk)=0f(m_k)=0 bada, erro zehatza aurkitu da.)

  3. Errepikatzen da tartearen luzera (edo ∣f(mk)∣|f(m_k)|) tolerantziaren azpitik jaitsi arte. Hurbilketa azken erdiko puntua da.

Errore-kota eta abiadura

FrogapenaDedukzioa: bisekzioaren errore-kotaIkusi orri propio gisa →

  1. kk bisekzioren ondoren, [ak,bk][a_k,b_k] tarteak erroa gordetzen du oraindik eta aurrekoaren erdia neurtzen du:

    bk−ak=b−a2kb_k-a_k=\frac{b-a}{2^k}

  2. Hurbilketa erdiko puntua da, mkm_k, eta erroa bi erdietako batean dago, gehienez tartearen erdia den distantziara:

    ∣mk−α∣≤bk−ak2=b−a2k+1|m_k-\alpha|\le\frac{b_k-a_k}{2}=\frac{b-a}{2^{k+1}}

  3. ∣mk−α∣<ε|m_k-\alpha|<\varepsilon bermatzeko, nahikoa da kk askatzea b−a2k+1<ε\frac{b-a}{2^{k+1}}<\varepsilon desberdintzatik: iterazio kopurua hasi aurretik ezagutzen da, arlo honetako beste inongo metodok eskaintzen ez duena.

    k>log⁡2 ⁣(b−aε)−1k>\log_2\!\left(\frac{b-a}{\varepsilon}\right)-1

Iterazio bakoitzak bit bat irabazten du doitasunean (errorea erdira murrizten du); horrek zifra hamartar bat esan nahi du log⁡210≈3.3\log_2 10\approx 3.3 iteraziotik behin. Motela da Newton-en aldean, baina ez du deribaturik eskatzen, jarraitutasuna eta zeinu-aldaketa bat baino ez, eta ez du dibergitzen. Erroa lokalizatzeko eta metodo azkar bati hasierako estimazio fidagarria emateko erabiltzen da maiz.