GidaEkuazio ez-linealakaurreratua

Konbergentzia-ordena eta eraginkortasuna

Konbergentzia-ordenaren eta errore-ekuazioaren definizioa, haien COC eta ACOC estimatzaile konputazionalak, eraginkortasun-indizeak eta metodo optimoak definitzen dituen Kung-Traub aierua.

Konbergentzia-ordena eta errore-ekuazioa

Modu baliokidean, errorea ek=xk−αe_k=x_k-\alpha gisa idatzita, metodoak pp ordena du baldin eta soilik baldin errore-ekuazioa betetzen badu:

ek+1=C ekp+O(ekp+1)e_{k+1}=C\,e_k^p+\mathcal{O}\bigl(e_k^{p+1}\bigr)

Errore-ekuazioa Taylor-en garapenekin lortzen da, Newton-en ordenaren frogapenean edo puntu finkoaren teoreman bezala.

Ordena praktikan neurtu: COC eta ACOC

Iteratuen segida emanda, ordena teorikoa konbergentzia-ordena konputazionalarekin (COC) estimatzen da, α\alpha ezagutzea eskatzen duena:

COC=ln⁡(∣xk+1−α∣/∣xk−α∣)ln⁡(∣xk−α∣/∣xk−1−α∣),k=1,2,…COC=\frac{\ln\bigl(|x_{k+1}-\alpha|/|x_k-\alpha|\bigr)}{\ln\bigl(|x_k-\alpha|/|x_{k-1}-\alpha|\bigr)},\qquad k=1,2,\dots

Praktikan α\alpha ezagutzen ez denez, errorea ondoz ondoko iteratuen arteko diferentziaz ordezkatzen da, konbergentzia-ordena konputazional hurbildua (ACOC) lortuz:

ACOC=ln⁡(∣xk+1−xk∣/∣xk−xk−1∣)ln⁡(∣xk−xk−1∣/∣xk−1−xk−2∣),k=2,3,…ACOC=\frac{\ln\bigl(|x_{k+1}-x_k|/|x_k-x_{k-1}|\bigr)}{\ln\bigl(|x_k-x_{k-1}|/|x_{k-1}-x_{k-2}|\bigr)},\qquad k=2,3,\dots

EDOetarako metodoetan ordena estimatzearen filosofia bera da: erroreak fintzean nola txikitzen diren alderatu. Newton-en ariketak ACOC 2rantz doala erakusten du.

Eraginkortasuna eta metodo optimoak

Ordena altua ez da doakoa: iterazio bakoitzak ff-ren eta haren deribatuen hainbat ebaluazio eska ditzake. Metodoak alderatzeko eraginkortasun-indizea definitzen da, I=p1/dI=p^{1/d}, non pp ordena den eta dd iterazio bakoitzeko ebaluazio funtzional desberdinen kopurua, eta eraginkortasun konputazionalaren indizea, IC=p1/(d+op)IC=p^{1/(d+op)}, iterazio bakoitzeko opop biderketa eta zatiketak ere zenbatzen dituena.

MetodoappddIIOptimoa?
Newton2221/2≈1.4142^{1/2}\approx 1.414✔
Halley3331/3≈1.4423^{1/3}\approx 1.442✘
Chebyshev3331/3≈1.4423^{1/3}\approx 1.442✘
Super-Halley3331/3≈1.4423^{1/3}\approx 1.442✘
Ostrowski4341/3≈1.5874^{1/3}\approx 1.587✔
Hainbat metodoren ordena, iterazio bakoitzeko ebaluazioak eta eraginkortasun-indizea.

Newton optimoa da (2=22−12=2^{2-1}); hiru ebaluazioko hirugarren ordenako metodoak ez dira (3<23−1=43<2^{3-1}=4). Puntu anitzeko metodoek, Ostrowski edo Jarratt bezalakoek, 4. ordena lortzen dute hiru ebaluaziorekin bakarrik: optimoak dira eta horregatik nabarmentzen dira konparatiba numerikoan.