GidaIntegrazioaoinarrizkoa

Zenbakizko koadratura Lagrangetik

Zenbakizko integrazioaren ideia orokorra: integrala funtzioaren balioen batura haztatu baten bidez hurbiltzea, Lagrangeren polinomioa integratuz lortua.

Zer problema ebazten du

Integral asko ezin dira eskuz kalkulatu, funtzioa taulatuta bakarrik dagoelako edo haren primitiboa erabilgarria ez delako. Zenbakizko koadraturak azalera zehatza nodoetan neurtutako altueren konbinazio batez ordezkatzen du.

I=\int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_{i=0}^{n} a_i f(x_i)

Koadratura-erregelaren forma orokorra.

Polinomio interpolatzailearekin dedukzioa

$f$ Lagrangeren polinomioarekin ( $p_n$ ) interpolatu eta gero integratzen badugu, $f$ -ren integrala $f(x_i)$ balioen eta $L_i$ oinarrien integralen batura gisa banatzen da.

p_n(x)=\sum_{i=0}^{n}L_i(x)f(x_i),\qquad L_i(x)=\prod_{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}

\int_a^b f(x)\,dx\approx\sum_{i=0}^{n} f(x_i)\int_a^b L_i(x)\,dx

Pisuak Lagrangeren oinarrien integralak dira.

E=\frac{1}{(n+1)!}\int_a^b f^{(n+1)}(\xi(x))\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\,dx

Interpolazio-terminoari lotutako koadratura-errorea.

Zein metodo aukeratu

Nodoak ekidistanteak badira eta muturrak erabiltzen badira, Newton-Cotesen formula itxiak agertzen dira.
Nodoak ekidistanteak badira baina muturrak ez badira erabiltzen, Newton-Cotesen formula irekiak agertzen dira.
Funtzioa non ebaluatu aukeratu badaiteke, Gaussen koadraturak nodo ez-ekidistanteak kokatzen ditu zehaztasun-maila handitzeko.
Integral bikoitzetan, erregela berak produktu bidez aplikatzen dira: norabide batean eta gero bestean.