GidaIntegrazioaertaina

Newton-Cotes itxiak: trapezioa, Simpson eta gehiago

Muturrak barne hartzen dituzten nodo ekidistanteetarako erregela itxiak: trapezioa, Simpson 1/3, Simpson 3/8, Milne eta haien erroreak.

Erregela sinpleak

Erregela itxiek a eta b barne hartzen dituzten nodo ekidistanteak erabiliz interpolatzen dute. Zenbat eta nodo gehiago erabili, orduan eta handiagoa izan daiteke zehaztasun-maila, baina funtzioa oszilatzen bada sentikortasuna ere handitzen da.

ErregelaHurbilketa sinpleaErrore nagusia
Trapecioh/2 [f(a)+f(b)]-h^3 f''(xi)/12
Simpson 1/3h/3 [f(a)+4f((a+b)/2)+f(b)]-h^5 f^(4)(xi)/90
Simpson 3/83h/8 [f(a)+3f((2a+b)/3)+3f((a+2b)/3)+f(b)]-3h^5 f^(4)(xi)/80
Milne2h/45 [7f(a)+32f((3a+b)/4)+12f((a+b)/2)+32f((a+3b)/4)+7f(b)]-8h^7 f^(6)(xi)/945
Errenkada bakoitzean, h erregela sinple horretako nodoen arteko pausoa da.

Trapezio konposatua

Errorea txikitzeko [a,b] n azpitartetan banatzen da eta trapezioa bakoitzean aplikatzen da. Barruko nodoak bi aldiz agertzen dira, horregatik dute 2 pisua.

zabalera hx₀x₁x₂x₃xₙbarruko nodoak: 2 pisua
Trapezio konposatuak trapezio sinpleak batzen ditu. Barruko nodo bakoitza azpitarte baten eskuineko muturra eta hurrengoaren ezkerreko muturra da.
Handitu diagrama

Trapezio konposatuak trapezio sinpleak batzen ditu. Barruko nodo bakoitza azpitarte baten eskuineko muturra eta hurrengoaren ezkerreko muturra da.

n azpitartetarako dedukzioa

  1. Tartea xi=a+ihx_i=a+ih eta h=(b−a)/nh=(b-a)/n erabiliz banatzen dugu.

    a=x0<x1<⋯<xn=ba=x_0<x_1<\cdots<x_n=b

  2. [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] azpitarte bakoitzean trapezio sinplea aplikatzen dugu:

    Ti=h2[f(xi)+f(xi+1)]T_i=\frac{h}{2}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]

  3. Trapezio guztiak batzen ditugu. Batura zabaltzean, barruko nodoak bi aldiz agertzen dira:

    Tn=∑i=0n−1h2[f(xi)+f(xi+1)]=h2[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)]\begin{aligned}T_n&=\sum_{i=0}^{n-1}\frac{h}{2}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]\\&=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]\end{aligned}

  4. Errore globala −h3f′′(ξi)/12-h^3 f''(\xi_i)/12 errore lokalak batu eta batez besteko balioaren teorema aplikatuz lortzen da:

    ET=−h312∑i=0n−1f′′(ξi)=−b−a12h2f′′(ξ)E_T=-\frac{h^3}{12}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)=-\frac{b-a}{12}h^2 f''(\xi)
I≈h2[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)],h=b−anI\approx\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right],\qquad h=\frac{b-a}{n}
ET=−b−a12h2f′′(ξ)E_T=-\frac{b-a}{12}h^2 f''(\xi)
Trapezio konposatuaren errore globala.

Simpson konposatua

Simpson 1/3 erregelak azpitartak binaka taldekatzen ditu; beraz, n bikoitia izan behar da. Pisuak 4 eta 2 txandakatzen dira: nodo bakoitiak parabola bakoitzaren erdiko puntuak dira, eta barruko bikoitiek bloke jarraituak lotzen dituzte.

I≈h3[f(x0)+4∑i imparf(xi)+2∑i par, 0<i<nf(xi)+f(xn)]I\approx\frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{i\ \mathrm{impar}}f(x_i)+2\sum_{i\ \mathrm{par},\ 0<i<n}f(x_i)+f(x_n)\right]
ES=−b−a180h4f(4)(ξ)E_S=-\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)
Simpson konposatuaren errore globala.

Dedukzioak

FrogapenaFrogapena: trapezioaren erregelaIkusi orri propio gisa →

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx hurbildu nahi dugu funtzioaren muturretako balioak bakarrik erabiliz. Ideia kurba (a,f(a))(a,f(a)) eta (b,f(b))(b,f(b)) puntuetatik pasatzen den zuzenaz ordezkatzea da, eta zuzen hori integratzea.

abf(a)f(b)zuzen interpolatzaileaf funtzioahurbildutako azalera
Kurba zuzen interpolatzaileaz ordezkatzen da. Zuzen horren azpiko azalera da trapezio bidezko hurbilketa.
Handitu diagrama

Kurba zuzen interpolatzaileaz ordezkatzen da. Zuzen horren azpiko azalera da trapezio bidezko hurbilketa.

Dedukzioa Lagrangerekin

  1. x0=ax_0=a eta x1=bx_1=b muturreko nodoak hartzen ditugu, h=b−ah=b-a izanik. Lagrangeren oinarri linealak 1 balio du bere nodoan eta 0 bestean:

    L0(x)=x−ba−b,L1(x)=x−ab−aL_0(x)=\frac{x-b}{a-b},\qquad L_1(x)=\frac{x-a}{b-a}

  2. Interpolatzaile lineala balio ezagunen konbinazio gisa geratzen da:

    p1(x)=f(a)L0(x)+f(b)L1(x)p_1(x)=f(a)L_0(x)+f(b)L_1(x)

  3. ff-ren integrala p1p_1-en integralaz hurbiltzen dugu. Formularen pisuak oinarrien integralak dira:

    I≈f(a)∫abL0(x) dx+f(b)∫abL1(x) dxI\approx f(a)\int_a^b L_0(x)\,dx+f(b)\int_a^b L_1(x)\,dx

  4. Lehen pisua kalkulatzeko s=x−as=x-a aldaketa egiten dugu. Orduan x−b=s−hx-b=s-h, a−b=−ha-b=-h, dx=dsdx=ds eta mugak x=a,bx=a,b-tik s=0,hs=0,h-ra pasatzen dira:

    ∫abL0(x) dx=∫abx−ba−b dx=∫0hh−sh ds=1h[hs−s22]0h=h2\begin{aligned}\int_a^b L_0(x)\,dx&=\int_a^b\frac{x-b}{a-b}\,dx\\&=\int_0^h\frac{h-s}{h}\,ds\\&=\frac{1}{h}\left[hs-\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}\end{aligned}

  5. Bigarren pisua aldaketa berarekin kalkulatzen dugu. Orain x−a=sx-a=s eta b−a=hb-a=h dira:

    ∫abL1(x) dx=∫abx−ab−a dx=∫0hsh ds=1h[s22]0h=h2\begin{aligned}\int_a^b L_1(x)\,dx&=\int_a^b\frac{x-a}{b-a}\,dx\\&=\int_0^h\frac{s}{h}\,ds=\frac{1}{h}\left[\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}\end{aligned}

  6. Bi pisuak h/2h/2 dira. Koadratura-formulan ordezkatzean trapezio sinplearen erregela agertzen da:

    ∫abf(x) dx≈h2[f(a)+f(b)]\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]
ab1L₀(x)h/2 azaleraab1L₁(x)h/2 azalera
Lagrangeren oinarri bakoitzak h/2h/2 azalera du [a,b][a,b] tartean. Horregatik bi muturrek pisu bera jasotzen dute.
Handitu diagrama

Lagrangeren oinarri bakoitzak h/2h/2 azalera du [a,b][a,b] tartean. Horregatik bi muturrek pisu bera jasotzen dute.

Irakurketa geometrikoa

  1. p1p_1-en integrala zuzen baten azpiko azalera da. Eskualde hori h=b−ah=b-a oinarriko trapezioa da, eta altuera paraleloak f(a)f(a) eta f(b)f(b) dira.

    Atrapecio=base2(altura1+altura2)A_{\text{trapecio}}=\frac{\text{base}}{2}\left(\text{altura}_1+\text{altura}_2\right)

  2. Oinarria eta altuerak identifikatzean Lagrangerekin lortutako adierazpen bera ateratzen da:

    Atrapecio=b−a2[f(a)+f(b)]A_{\text{trapecio}}=\frac{b-a}{2}\left[f(a)+f(b)\right]
aboinarria h=b-af(a)f(b)A = h(f(a)+f(b))/2
Formula trapezio baten azalerarekin bat dator: oinarria bider bi altueren batezbestekoa.
Handitu diagrama

Formula trapezio baten azalerarekin bat dator: oinarria bider bi altueren batezbestekoa.

Errore-gaia

  1. f∈C2[a,b]f\in\mathcal{C}^2[a,b] bada, puntu bakoitzeko interpolazio linealaren erroreak forma hau du:

    f(x)−p1(x)=f′′(ξx)2(x−a)(x−b)f(x)-p_1(x)=\frac{f''(\xi_x)}{2}(x-a)(x-b)

  2. f′′f'' biderkatzen duen produktua integratzen dugu. s=x−as=x-a hartuta, (x−a)(x−b)=s(s−h)(x-a)(x-b)=s(s-h) geratzen da:

    ∫ab(x−a)(x−b) dx=∫0hs(s−h) ds=−h36\int_a^b(x-a)(x-b)\,dx=\int_0^h s(s-h)\,ds=-\frac{h^3}{6}

  3. Integraletarako batez besteko balioaren teoremaren arabera, badago ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) non:

    ∫abf(x) dx−h2[f(a)+f(b)]=−h312f′′(ξ)\int_a^b f(x)\,dx-\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]=-\frac{h^3}{12}f''(\xi)

  4. Erregelak 2. ordena lokala du: errorea ff-ren kurbaduraren araberakoa da eta tarte bakarrean (b−a)3(b-a)^3 bezala hazten da.

FrogapenaFrogapena: trapezio konposatuaIkusi orri propio gisa →
zabalera hx₀x₁x₂x₃xₙbarruko nodoak: 2 pisua
Azpitarte bakoitzak trapezio bat ematen du. Barruko nodoak bi aldiz zenbatzen dira.
Handitu diagrama

Azpitarte bakoitzak trapezio bat ematen du. Barruko nodoak bi aldiz zenbatzen dira.

n azpitartetarako formula

  1. [a,b][a,b] n azpitarte berdinetan zatitzen dugu:

    xi=a+ih,h=b−an,i=0,…,nx_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n},\qquad i=0,\ldots,n

  2. [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] tartean trapezio sinplea aplikatzen dugu:

    Ti=h2[f(xi)+f(xi+1)]T_i=\frac{h}{2}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]

  3. Hurbilketa osoa n trapezioen batura da:

    Tn=∑i=0n−1Ti=h2∑i=0n−1[f(xi)+f(xi+1)]\begin{aligned}T_n&=\sum_{i=0}^{n-1}T_i\\&=\frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]\end{aligned}

  4. Batura osoa idaztean, f(x0)f(x_0) eta f(xn)f(x_n) behin agertzen dira. Barruko balio bakoitza bi aldiz agertzen da:

    Tn=h2[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)]T_n=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]

  5. Errore globala trapezio sinplearen errore lokalak batuz lortzen da:

    ET=−h312∑i=0n−1f′′(ξi)=−b−a12h2f′′(ξ)\begin{aligned}E_T&=-\frac{h^3}{12}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)\\&=-\frac{b-a}{12}h^2f''(\xi)\end{aligned}
FrogapenaFrogapena: Simpson 1/3Ikusi orri propio gisa →

  1. x0=ax_0=a, x1=a+b2x_1=\frac{a+b}{2} eta x2=bx_2=b hartzen ditugu. h=b−a2h=\frac{b-a}{2} idazten dugu eta t=x−aht=\frac{x-a}{h} erabiltzen dugu; beraz, tt-k [0,2][0,2] zeharkatzen du.

    dx=h dtdx=h\,dt

  2. t aldagaiko bigarren graduko oinarriak hauek dira:

    ℓ0(t)=(t−1)(t−2)2,ℓ1(t)=−t(t−2),ℓ2(t)=t(t−1)2\ell_0(t)=\frac{(t-1)(t-2)}{2},\quad \ell_1(t)=-t(t-2),\quad \ell_2(t)=\frac{t(t-1)}{2}

  3. Oinarri bakoitza [0,2] tartean integratzen dugu eta h-rekin biderkatzen dugu:

    h∫02ℓ0(t)dt=h3,h∫02ℓ1(t)dt=4h3,h∫02ℓ2(t)dt=h3h\int_0^2\ell_0(t)dt=\frac{h}{3},\quad h\int_0^2\ell_1(t)dt=\frac{4h}{3},\quad h\int_0^2\ell_2(t)dt=\frac{h}{3}

  4. Terminoak elkartzean Simpson 1/3 agertzen da:

    ∫abf(x) dx≈h3[f(a)+4f ⁣(a+b2)+f(b)]\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{3}\left[f(a)+4f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]