GidaEkuazio ez-linealakertaina

Puntu finkoko iterazioa

$f(x)=0$ berridatzi $x=\phi(x)$ gisa eta iteratu: noiz konbergitzen duen ( $|\phi'(\alpha)|<1$ ), zein abiaduratan, eta metodoaren ordena $\phi$ -ren zein deribatu anulatzen diren soluzioan ematen duen teorema.

f(x)=0-tik x=φ(x)-ra

$f(x)=0$ ekuazio oro (era askotara) puntu finkoko problema gisa berridatz daiteke: $x=\phi(x)$ ; soluzioak $\phi(\alpha)=\alpha$ betetzen du. Metodoa funtzioa iteratzea da:

x_{k+1}=\phi(x_k),\qquad k=0,1,2,\dots

Ordena φ-ren deribatuen araberakoa da

FrogapenaDedukzioa: puntu finkoaren konbergentzia eta ordenaIkusi orri propio gisa →

Izan bedi $e_k=x_k-\alpha$ . $\phi(x_k)$ Taylor bidez garatzen dugu $\alpha$ -ren inguruan eta $\phi(\alpha)=\alpha$ dela erabiltzen dugu:
$x_{k+1}=\phi(x_k)=\alpha+\phi'(\alpha)\,e_k+\frac{\phi''(\alpha)}{2}\,e_k^2+\frac{\phi'''(\alpha)}{6}\,e_k^3+\cdots$
$\alpha$ kenduta, puntu finkoko iterazioaren errore-ekuazioa geratzen da:
$e_{k+1}=\phi'(\alpha)\,e_k+\frac{\phi''(\alpha)}{2}\,e_k^2+\frac{\phi'''(\alpha)}{6}\,e_k^3+\cdots$
$\phi'(\alpha)\ne 0$ bada, gai nagusia lineala da: $e_{k+1}\approx\phi'(\alpha)e_k$ . Erroreak uzkurtu egiten dira $|\phi'(\alpha)|<1$ bada (konbergentzia lineala, $|\phi'(\alpha)|$ faktorearekin) eta hazi $|\phi'(\alpha)|>1$ bada: horixe da konbergentzia lokalaren irizpidea.
Gainera $\phi'(\alpha)=\phi''(\alpha)=\dots=\phi^{(p-1)}(\alpha)=0$ eta $\phi^{(p)}(\alpha)\ne 0$ badira, aurreko gai guztiak desagertzen dira eta bizirik dirauen lehenak ordena finkatzen du: puntu finkoko metodo baten ordenaren teorema da, hain zuzen.
$e_{k+1}=\frac{\phi^{(p)}(\alpha)}{p!}\,e_k^p+\mathcal{O}\bigl(e_k^{p+1}\bigr)$
Berehalako aplikazioa: Newton-entzat, $\phi=x-\frac{f}{f'}$ eta $\phi'=\frac{f f''}{(f')^2}$ , erro sinple batean anulatzen dena ( $f(\alpha)=0$ ). Orokorrean $\phi''(\alpha)\ne 0$ denez, Newton-ek 2. ordena du, frogapen zuzenarekin bat etorriz.

Teorema honek azaltzen du zergatik den Newton 2. ordenakoa: bere iterazio-funtzioak, $\phi=x-\frac{f}{f'}$ , $\phi'(\alpha)=0$ betetzen du erro sinple batean. Ordenaren definizio orokorra eta haren neurketa praktikoa Konbergentzia-ordena eta eraginkortasuna orrian lantzen dira.

Adibidea: konbergentzia motela

Adibideaφ(x)=cos²x iteratu

Ebatzi $x=\cos^2 x$ , $x_{k+1}=\cos^2(x_k)$ zuzenean iteratuz $x_0=0.3$ -tik, eta estimatu konbergentzia-abiadura.

Lehen iteratuek soluzioaren inguruan oszilatzen dute: $x_1=0.9127$ , $x_2=0.3741$ , $x_3=0.8665$ , $x_4=0.4193$ , $x_5=0.8343,\dots$ oso poliki hurbilduz $\alpha=0.641714$ -ra.
Abiadura puntu finkoko deribatuak finkatzen du: $\phi'(x)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x$ , eta $\alpha$ -n:
$|\phi'(\alpha)|=|\sin(2\cdot 0.641714)|=0.959<1$

Konbergitzen du (zeinu negatiboak oszilazioa azaltzen du), baina $0.959$ faktorearekin: 455 iterazio behar dira $10^{-9}$ -ko errorea lortzeko. Newton-ek ekuazio bera 5 iteraziotan ebazten du; hor ikusten da 1. eta 2. ordenaren arteko aldea.