GidaEDAertaina

Euler-en metodoa

Urrats bakarreko metodorik sinpleena: uneko nodoaren maldarekin aurrera egitea. Dedukzio osoa hiru bidetatik (Taylor, zatidura inkrementala eta integrazioa), ordena, eskuzko adibidea eta aldaera inplizitua.

Ideia: uneko maldarekin aurrera egin

tkt_k nodoan yky_k hurbilketa ezagutzen dugu eta, harekin, ekuazioak puntu horretan soluzioari esleitzen dion f(tk,yk)f(t_k,y_k) malda. Euler-en metodoak malda horrekin lerro zuzenean egiten du aurrera azpitarte osoan zehar:

yk+1=yk+h f(tk,yk),k=0,1,…,N−1y_{k+1}=y_k+h\,f(t_k,y_k),\qquad k=0,1,\dots,N-1
Euler-en metodo esplizitua.
tₖtₖ₊₁yₖyₖ₊₁uneko malday(t)
Euler-ek kurba zehatza (tk,yk)(t_k,y_k) puntutik ateratzen den zuzen ukitzailearekin ordezkatzen du; pauso osoan malda bakarra erabiltzen du.
Handitu diagrama

Euler-ek kurba zehatza (tk,yk)(t_k,y_k) puntutik ateratzen den zuzen ukitzailearekin ordezkatzen du; pauso osoan malda bakarra erabiltzen du.

Metodo esplizitua da: yk+1y_{k+1} zuzenean kalkulatzen da yky_k-tik. Bere interesa ez da doitasuna (ordena baxueneko metodoa da), baizik eta ia metodo guztiak diseinatzeko erabiltzen diren hiru teknikak biltzen dituela: Taylor-en garapenak, deribatuaren hurbilketa eta kuadraturak.

Dedukzioa

Dedukzio osoa, hiru bideetatik eta metodoaren ordena finkatzen duen errore-analisiarekin, honako hau da:

FrogapenaDedukzioa: Euler-en metodoa eta bere ordenaIkusi orri propio gisa →

1. bidea: Taylor-en garapena

tₖtₖ₊₁yₖyₖ₊₁uneko malday(t)
Lehen ordenako Taylor-en irakurketa geometrikoa: gai lineala bakarrik gordetzea ukitzailetik aurrera egitea da.
Handitu diagrama

Lehen ordenako Taylor-en irakurketa geometrikoa: gai lineala bakarrik gordetzea ukitzailetik aurrera egitea da.

  1. yy soluzioa Taylor bidez garatzen dugu tt-ren inguruan, hondarra Lagrange eran idatzita (ξ\xi, tt eta t+ht+h artean):

    y(t+h)=y(t)+h y′(t)+h22y′′(ξ)y(t+h)=y(t)+h\,y'(t)+\frac{h^2}{2}y''(\xi)

  2. Ekuazio diferentzialak deribatua ematen digu: y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)). Ordezkatuz:

    y(t+h)=y(t)+h f(t,y(t))+h22y′′(ξ)y(t+h)=y(t)+h\,f(t,y(t))+\frac{h^2}{2}y''(\xi)

  3. Hondarra h22y′′(ξ)\frac{h^2}{2}y''(\xi) baztertzen dugu (2. ordenako edo handiagoko gaiak) eta nodoetan ebaluatzen dugu, t=tkt=t_k eta yk≈y(tk)y_k\approx y(t_k) izanik: Euler-en eskema geratzen da.

    yk+1=yk+h f(tk,yk)y_{k+1}=y_k+h\,f(t_k,y_k)

2. bidea: zatidura inkrementala

  1. Deribatua zatidura inkrementalaren limitea da; hh txikirako, zatidura horrek hurbiltzen du. Lehen ordenako aurreranzko diferentzia da, hain zuzen:

    y′(t)=lim⁡h→0y(t+h)−y(t)h  ⇒  y′(t)≈y(t+h)−y(t)hy'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\;\Rightarrow\; y'(t)\approx\frac{y(t+h)-y(t)}{h}

  2. Hurbilketa y′=f(t,y)y'=f(t,y) ekuazioan ordezkatuz eta y(t+h)y(t+h) askatuz, formula bera berreskuratzen da:

    y(t+h)−y(t)h≈f(t,y)  ⇒  y(t+h)≈y(t)+h f(t,y)\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx f(t,y)\;\Rightarrow\; y(t+h)\approx y(t)+h\,f(t,y)

3. bidea: integrazioa

tₖtₖ₊₁h f(tₖ, yₖ)ezkerreko laukizuzenaf(τ, y(τ))
Forma integralean, Euler esplizituak f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) azpiko azalera ezkerreko altuerako f(tk,yk)f(t_k,y_k) laukizuzen batez hurbiltzen du.
Handitu diagrama

Forma integralean, Euler esplizituak f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) azpiko azalera ezkerreko altuerako f(tk,yk)f(t_k,y_k) laukizuzen batez hurbiltzen du.

  1. Kalkuluaren Oinarrizko Teorema erabili aurretik, EDOa τ\tau aldagai mutuarekin idatzi eta bi aldeak [tk,tk+1][t_k,t_{k+1}] tartean integratzen ditugu:

    ∫tktk+1y′(τ) dτ=∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  2. Orain Kalkuluaren Oinarrizko Teoremak y′y'-ren integrala soluzioaren diferentzia zehatz bihurtzen du:

    y(tk+1)=y(tk)+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  3. Integrakizuna ezkerreko muturreko balioaz hurbiltzen dugu. Hau da, p0(τ)=f(tk,y(tk))p_0(\tau)=f(t_k,y(t_k)) polinomio konstantearekin interpolatzen dugu eta hh oinarriko laukizuzen hori integratzen dugu:

    ∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ  ≈  (tk+1−tk) f(tk,y(tk))=h f(tk,y(tk))\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau\;\approx\;(t_{k+1}-t_k)\,f(t_k,y(t_k))=h\,f(t_k,y(t_k))

  4. Berdintza integralean ordezkatuz Euler-en eskema agertzen da berriro. Integrakizuna gradu handiagoko polinomioekin hurbiltzeak, bide beretik, Heun (trapezioa), RK4 (Simpson) eta Adams metodoak sortzen ditu.

Errore lokala, errore globala eta ordena

  1. Pauso baten errore lokala 1. bidean baztertutako Taylor-en hondarra da, hain zuzen (ξk∈ ]tk,tk+1[\xi_k\in\,]t_k,t_{k+1}[):

    ek+1=y(tk+1)−(y(tk)+h y′(tk))=h22y′′(ξk)=O(h2)e_{k+1}=y(t_{k+1})-\bigl(y(t_k)+h\,y'(t_k)\bigr)=\frac{h^2}{2}y''(\xi_k)=\mathcal{O}(h^2)

  2. Errore globalerako NN errore lokalak batzen ditugu. y′′y'' jarraitua denez, tarteko balioaren teoremak batura puntu bakar batean biltzea ahalbidetzen du, ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]:

    ∑k=0N−1h22y′′(ξk)=h22N y′′(ξ)\sum_{k=0}^{N-1}\frac{h^2}{2}y''(\xi_k)=\frac{h^2}{2}N\,y''(\xi)

  3. N=b−ahN=\frac{b-a}{h} izanik, hh-ren potentzia bat ezabatzen da eta 1. ordenako errore globala geratzen da: Euler-en metodoa 1. ordenakoa da.

    h22 b−ah y′′(ξ)=b−a2 y′′(ξ) h=O(h)\frac{h^2}{2}\,\frac{b-a}{h}\,y''(\xi)=\frac{b-a}{2}\,y''(\xi)\,h=\mathcal{O}(h)

Metodoaren ordena

Errore globalak unitate bat galtzen du lokalaren aldean: N=b−ahN=\frac{b-a}{h} errore lokal egiten dira, eta haien metaketak 1/h1/h-ren proportzionala den faktore batez biderkatzen du. Bi erroreen definizio zehatza eta ordenaren estimazio numerikoa Konbergentzia, kontsistentzia eta ordena orrian lantzen dira.

Eskuzko adibidea

AdibideaEuler-en bi pauso Verhulst ereduan

Hurbildu Euler-en bi pausorekin y′(t)=(3−0.1 y(t)) y(t)y'(t)=(3-0.1\,y(t))\,y(t) ekuazioaren soluzioa [0,2][0,2] tartean, y(0)=10y(0)=10 izanik; soluzio zehatza y(t)=301+2e−3ty(t)=\frac{30}{1+2e^{-3t}} da.

  1. N=2N=2 hartuta pausoa h=1h=1 da. Lehen pausoa, t0=0t_0=0, y0=10y_0=10-etik: malda f(0,10)=(3−1)⋅10=20f(0,10)=(3-1)\cdot 10=20 da.

    y1=y0+h f(t0,y0)=10+1⋅20=30y_1=y_0+h\,f(t_0,y_0)=10+1\cdot 20=30

  2. Bigarren pausoa, t1=1t_1=1, y1=30y_1=30-etik: orain f(1,30)=(3−3)⋅30=0f(1,30)=(3-3)\cdot 30=0, beraz soluzio numerikoa ez da mugitzen.

    y2=y1+h f(t1,y1)=30+0=30y_2=y_1+h\,f(t_1,y_1)=30+0=30

Soluzio zehatzarekin alderatuta, y(1)=27.2833y(1)=27.2833 eta y(2)=29.8517y(2)=29.8517, errore maximoa ∣27.2833−30∣=2.7167|27.2833-30|=2.7167 da: ordena estimatzeko ariketako taularen lehen errenkada, hain zuzen.

Euler inplizitua

Azpitartearen hasierako malda erabili beharrean amaierakoa erabiltzen bada, Euler-en metodo inplizitua lortzen da:

yk+1=yk+h f(tk+1,yk+1)y_{k+1}=y_k+h\,f(t_{k+1},y_{k+1})
Euler-en metodo inplizitua.
tₖtₖ₊₁h f(tₖ₊₁, yₖ₊₁)eskuineko laukizuzenaf(τ, y(τ))
Euler inplizituak eskuineko laukizuzena erabiltzen du: altuera puntu berriaren mende dago, horregatik ekuazio bat ebatzi behar da.
Handitu diagrama

Euler inplizituak eskuineko laukizuzena erabiltzen du: altuera puntu berriaren mende dago, horregatik ekuazio bat ebatzi behar da.

FrogapenaDedukzioa: Euler inplizituaIkusi orri propio gisa →
tₖtₖ₊₁h f(tₖ₊₁, yₖ₊₁)eskuineko laukizuzenaf(τ, y(τ))
Euler inplizituaren dedukzio integralak eskuineko muturreko balioa erabiltzen du: laukizuzenaren altuerak yk+1y_{k+1} ezezaguna dauka.
Handitu diagrama

Euler inplizituaren dedukzio integralak eskuineko muturreko balioa erabiltzen du: laukizuzenaren altuerak yk+1y_{k+1} ezezaguna dauka.

  1. Deribatua tkt_k-n aurrera begira hurbildu beharrean, tk+1t_{k+1}-en hurbiltzen dugu atzera begira, atzeranzko diferentziarekin:

    y′(tk+1)≈y(tk+1)−y(tk)hy'(t_{k+1})\approx\frac{y(t_{k+1})-y(t_k)}{h}

  2. Nodo berrian ebaluatutako ekuazio diferentzialean ordezkatzen dugu, y′(tk+1)=f(tk+1,y(tk+1))y'(t_{k+1})=f\bigl(t_{k+1},y(t_{k+1})\bigr), eta askatzen dugu:

    yk+1=yk+h f(tk+1,yk+1)y_{k+1}=y_k+h\,f(t_{k+1},y_{k+1})

  3. Eskema bera ateratzen da PVIaren forma integrala integratuz eta integrakizuna eskuineko muturreko balioaz hurbilduz (eskuineko laukizuzena), Euler esplizituaren dedukzioko 3. bidearen paralelo zehatzean.

  4. yk+1y_{k+1} ff-ren barruan agertzen denez, pauso bakoitzak ekuazio bat (orokorrean ez-lineala) ebaztea eskatzen du yk+1y_{k+1} ezezagunean, adibidez Newton-Raphson metodoarekin:

    g(yk+1)=yk+1−yk−h f(tk+1,yk+1)=0g(y_{k+1})=y_{k+1}-y_k-h\,f(t_{k+1},y_{k+1})=0

yk+1y_{k+1} bi aldeetan agertzen denez, pauso bakoitzak g(yk+1)=yk+1−yk−h f(tk+1,yk+1)=0g(y_{k+1})=y_{k+1}-y_k-h\,f(t_{k+1},y_{k+1})=0 ekuazioa ebaztea eskatzen du, askotan Newton-Raphson metodoarekin. Metodoak egonkortasun-eremu handiagoa du: pauso handiekin funtzionatzen du esplizitua lehertzen den lekuan, egonkortasun-ariketak erakusten duen bezala eta Problema zurrunak eta egonkortasuna orrian orokorrean aztertzen den bezala.