GidaInterpolazioaaurreratua

Spline kubikoak

Zatikako interpolazioa tarte bakoitzeko kubiko batekin: jarraitutasun-baldintzak, koefizienteak zehazten dituen sistema tridiagonala, spline naturalak eta haien ebazpena.

Zergatik zatika

Gradu handiko polinomio bakar batek nodoen artean oszilatzen du (Runge fenomenoa). Splineek arazo hori saihesten dute tarte bakoitzean gradu txikiko polinomio desberdin bat erabiliz, eta leuntasunez elkartuz. Erabilienak kubikoak dira.

Si(x)=ai+bi(x−xi)+ci(x−xi)2+di(x−xi)3,i=0,…,n−1S_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2+d_i(x-x_i)^3,\qquad i=0,\dots,n-1

Spline kubikoaren baldintzak

  1. Interpolatzen du: S(x_i)=f(x_i) nodo bakoitzean.
  2. Zatikakoa da: S(x)=S_i(x) [x_i, x_{i+1}]-n.
  3. Balioaren jarraitutasuna nodo partekatuetan: S_{i+1}(x_{i+1})=S_i(x_{i+1}).
  4. Lehen deribatuaren jarraitutasuna: S_{i+1}'(x_{i+1})=S_i'(x_{i+1}).
  5. Bigarren deribatuaren jarraitutasuna: S_{i+1}''(x_{i+1})=S_i''(x_{i+1}).
  6. Muga-baldintzak: naturalak (S''=0 muturretan) edo mugatuak (S' finkatua muturretan).

Sistema tridiagonala

Baldintzak inposatzeak 4n4n koefizienteen kalkulua cic_i-etarako sistema lineal bihurtzen du. hi=xi+1−xih_i=x_{i+1}-x_i eta ai=f(xi)a_i=f(x_i) izanik:

hi−1ci−1+2(hi−1+hi)ci+hici+1=3hi(ai+1−ai)−3hi−1(ai−ai−1)h_{i-1}c_{i-1}+2(h_{i-1}+h_i)c_i+h_i c_{i+1}=\frac{3}{h_i}(a_{i+1}-a_i)-\frac{3}{h_{i-1}}(a_i-a_{i-1})

cic_i-ak ebatzi ondoren, gainerako koefizienteak zuzenean ateratzen dira:

bi=1hi(ai+1−ai)−hi3(2ci+ci+1),di=ci+1−ci3hib_i=\frac{1}{h_i}(a_{i+1}-a_i)-\frac{h_i}{3}(2c_i+c_{i+1}),\qquad d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3h_i}