GidaInterpolazioaertaina

Lagrangeren interpolazioa

Lagrangeren oinarri-funtzioak, definitzen dituen propietate kardinala, polinomioa datuen konbinazio zuzen gisa, haren errorea eta erroldako datuekin ebatzitako adibide bat.

Oinarri-funtzio kardinalak

Lagrangek polinomio bakar bera eraikitzen du, baina modu zuzen eta simetrikoan. Gakoa Li(x)L_i(x) funtzioak dira, beren nodoan 1 eta gainerakoetan 0 balio dutenak:

Li(xj)={1,i=j0,i≠j⟹Li(x)=∏j=0j≠inx−xjxi−xjL_{i}(x_j)=\begin{cases}1,& i=j\\[2pt] 0,& i\ne j\end{cases}\qquad\Longrightarrow\qquad L_{i}(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}

Zenbakitzailean (x−xj)(x-x_j) faktore guztiak agertzen dira (x−xi)(x-x_i) izan ezik; izendatzailean, (xi−xj)(x_i-x_j) guztiak (xi−xi)(x_i-x_i) izan ezik. Funtzio hauekin polinomioa balio ezagunen konbinazioa da:

pn(x)=∑i=0nLi(x) f(xi)p_n(x)=\sum_{i=0}^{n} L_{i}(x)\,f(x_i)
Zergatik igarotzen den polinomioa nodo bakoitzetik

  1. Nodo zehatz batean, xkx_k-n, egiaztatzeko, polinomioa han ebaluatzen dugu:

    pn(xk)=∑i=0nLi(xk) f(xi)p_n(x_k)=\sum_{i=0}^{n} L_i(x_k)\,f(x_i)

  2. Propietate kardinalak oinarri guztiak anulatzen ditu, xkx_k nodoari dagokiona izan ezik:

    Li(xk)={0,i≠k1,i=kL_i(x_k)=\begin{cases}0,& i\ne k\\[2pt]1,& i=k\end{cases}

  3. Horrela i=ki=k terminoa bakarrik geratzen da, eta interpolatzaileak nodo horretako datua berreskuratzen du:

    pn(xk)=Lk(xk) f(xk)=f(xk)p_n(x_k)=L_k(x_k)\,f(x_k)=f(x_k)

Newton vs Lagrange

  • Lagrange zuzena eta simetrikoa da: nodo gutxirako eta erregelak deduzitzeko egokia (kuadratura, deribazioa).
  • Newton inkrementala da: nodo bat gehitzea termino bat da, ez dena berregitea.
  • Biek polinomio bera ematen dute eta errore-kota berbera partekatzen dute.

Ebatzitako adibidea

AdibideaBiztanleria-errolda (4. gradua)

Erroldako datu berekin (1971–2011), eraiki 4. graduko Lagrangeren polinomioa eta estimatu 2005eko biztanleria.

  1. LiL_i bakoitzak beste nodoen lau faktoreak ditu. Adibidez, x0=1971x_0=1971-erako:

    L0(x)=(x−1981)(x−1991)(x−2001)(x−2011)(1971−1981)(1971−1991)(1971−2001)(1971−2011)=(x−1981)(x−1991)(x−2001)(x−2011)240000\begin{aligned}L_0(x)&=\frac{(x-1981)(x-1991)(x-2001)(x-2011)}{(1971-1981)(1971-1991)(1971-2001)(1971-2011)}\\&=\frac{(x-1981)(x-1991)(x-2001)(x-2011)}{240000}\end{aligned}

  2. Polinomioak LiL_i bakoitza bere f(xi)f(x_i) balioaz batzen du:

    p4(x)=∑i=04Li(x) f(xi)p_4(x)=\sum_{i=0}^{4} L_i(x)\,f(x_i)

Emaitza bat dator (biribiltzea izan ezik) Newtonenarekin, bakartasunagatik izan behar duen bezala:

p4(2005)≈42.316 millonesp_4(2005)\approx 42.316\ \text{millones}

Lagrange oinarriaren dedukzioa

FrogapenaFrogapena: Lagrangeren oinarri-funtzioakIkusi orri propio gisa →

  1. Li(x)L_i(x) nahi dugu xix_i izan ezik nodo guztietan 0 balio duena. xjx_j-n (j≠ij\ne i) anulatzeko, (x−xj)(x-x_j) faktorea sartzea nahikoa da bakoitzeko:

    numerador=∏j=0j≠in(x−xj)\text{numerador}=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}(x-x_j)

  2. Biderkadura horrek zerbait balio du (ez 1) xix_i-n. 1era normalizatzeko, xix_i-ko bere balioaz zatitzen dugu, hau da, han ebaluatutako biderkadura bera:

    Li(x)=∏j=0j≠inx−xjxi−xjL_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}

  3. Horrela Li(xi)=1L_i(x_i)=1 eta Li(xj)=0L_i(x_j)=0. ∑iLi(x) f(xi)\sum_i L_i(x)\,f(x_i) konbinazioak datu bakoitza berregiten du, beraz interpolatzen du.