GidaDeribazioaertaina

Diferentzia finituak: lehen deribatua

Lehen deribatuaren formula progresiboa, erregresiboa eta zentrala, hiru eta bost puntuko bertsioak, errorearen ordena eta harritzen duen konparazio numeriko bat.

Oinarrizko hiru formulak

h pausuko nodo ekidistanteekin, lehen deribatua aurrera begiratuz (progresiboa), atzera begiratuz (erregresiboa) edo bi aldeetara (zentrala) hurbiltzen da. Zentrala zehatzagoa da Taylor-en garapeneko termino bikoitia ezabatzen duelako.

f′(xi)≈fi+1−fih+O(h)f'(x_i)\approx\frac{f_{i+1}-f_i}{h}+\mathcal{O}(h)
Progresiboa, 1. ordena.
f′(xi)≈fi−fi−1h+O(h)f'(x_i)\approx\frac{f_i-f_{i-1}}{h}+\mathcal{O}(h)
Erregresiboa, 1. ordena.
f′(xi)≈fi+1−fi−12h+O(h2)f'(x_i)\approx\frac{f_{i+1}-f_{i-1}}{2h}+\mathcal{O}(h^2)
Zentrala, 2. ordena.

Ordena handiagoko formulak

Nodo gehiago erabiliz ordena igotzen da. Hiru puntukoek O(h2)\mathcal{O}(h^2) lortzen dute alde bakarreko informazioarekin; bost puntuko zentralak O(h4)\mathcal{O}(h^4) lortzen du.

f′(xi)≈−fi+2+4fi+1−3fi2h+O(h2)f'(x_i)\approx\frac{-f_{i+2}+4f_{i+1}-3f_i}{2h}+\mathcal{O}(h^2)
Hiru puntuko progresiboa.
f′(xi)≈3fi−4fi−1+fi−22h+O(h2)f'(x_i)\approx\frac{3f_i-4f_{i-1}+f_{i-2}}{2h}+\mathcal{O}(h^2)
Hiru puntuko erregresiboa.
f′(xi)≈−fi+2+8fi+1−8fi−1+fi−212h+O(h4)f'(x_i)\approx\frac{-f_{i+2}+8f_{i+1}-8f_{i-1}+f_{i-2}}{12h}+\mathcal{O}(h^4)
Bost puntuko zentrala.

Hiru puntuko progresiboaren dedukzioa

FrogapenaFrogapena: hiru puntuko progresiboa O(h²)Ikusi orri propio gisa →

  1. Taylor garatzen dugu xi+1x_{i+1} eta xi+2x_{i+2}-n xix_i-ren inguruan:

    f(xi+1)=f(xi)+hf′(xi)+h22f′′(xi)+R2f(xi+2)=f(xi)+2hf′(xi)+2h2f′′(xi)+R2\begin{aligned} f(x_{i+1})&=f(x_i)+hf'(x_i)+\tfrac{h^2}{2}f''(x_i)+R_2\\ f(x_{i+2})&=f(x_i)+2hf'(x_i)+2h^2 f''(x_i)+R_2 \end{aligned}

  2. (bigarrena)−2⋅(lehena)(\text{bigarrena})-2\cdot(\text{lehena}) egiten dugu f′f' ezabatzeko; f′′f'' askatuz bigarren deribatuaren O(h)\mathcal{O}(h) formula lortzen dugu:

    f′′(xi)=fi+2−2fi+1+fih2+O(h)f''(x_i)=\frac{f_{i+2}-2f_{i+1}+f_i}{h^2}+\mathcal{O}(h)

  3. f′′f'' hau lehen garapenean ordezkatuz eta f′f' askatuz hh ordenako terminoa ezabatzen da eta hau geratzen da:

    f′(xi)=−fi+2+4fi+1−3fi2h+O(h2)f'(x_i)=\frac{-f_{i+2}+4f_{i+1}-3f_i}{2h}+\mathcal{O}(h^2)