GidaSistema linealakertaina

Jacobi metodoa

A=L+D+U partizioa, Jacobi definitzen duen M=D aukera, bere osagaien araberako eskema iteratiboa eta ebatzitako adibide bat.

M = D hartu

$A$ zatitzen da bere behealde hertsi $L$ , bere diagonal $D$ eta bere goialde hertsi $U$ -tan. Jacobik prekondizionatzaile sinpleena aukeratzen du, $M=D$ , $N=-(L+U)$ -rekin:

A=L+D+U,\qquad x^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b

Osagaika, ezezagun bakoitza bere ekuaziotik askatzen da aurreko iterazioko balioak erabiliz:

x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i} a_{ij}x_j^{(k)}\right),\qquad a_{ii}\ne 0

Iterazio-matrizearen dedukzioa

FrogapenaFrogapena: Jacobiren iterazio-matrizeaIkusi orri propio gisa →

$i$ ekuazio bakoitzean $x_i$ askatzen dugu (posible $a_{ii}\ne 0$ delako):
$x_i=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j\right)$
Hau errenkada guztietarako idatziz eta D diagonala L eta U zatietatik bereiziz, forma matriziala agertzen da:
$x=D^{-1}\bigl(b-(L+U)x\bigr)=-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b$
Iterazio bihurtuta, Jacobiren eskema da hain zuzen, H_J=−D⁻¹(L+U) iterazio-matrizearekin:
$x^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b$