GidaSistema ez-linealakertaina

Ekuazio ez-linealen sistemak

$F(X)=0$ problema aldagai anitzetan: puntu finkoko metodo bektorialak, konbergentzia-ordena normekin, ACOC multidimentsionala eta gelditze-irizpideak.

Problema

Ingeniaritzako eredu asko (ekuazio diferentzial akoplatuen sistemak, deribatu partzialetako ekuazio diskretizatuak, muga-problemak) $n$ ezezaguneko $n$ ekuazio ez-linealen sistema batean amaitzen dira:

\begin{cases} f_1(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\\ f_2(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\\ \;\;\vdots\\ f_n(x_1,x_2,\dots,x_n)=0 \end{cases}\;\Longleftrightarrow\; F(X)=0,\quad F:D\subseteq\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n

non $f_i$ -ak $F$ -ren funtzio koordenatuak diren eta $D$ irekia eta ganbila den. Kasu eskalarrean bezala, $\alpha\in\mathbb{R}^n$ soluzioa puntu finkoko metodo iteratiboekin hurbiltzen da, orain $G:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ funtzio bektorial batek deskribatuta: $x^{(k+1)}=G(x^{(k)})$ , $k=0,1,2,\dots$

Konbergentzia-ordena normekin

Kasu eskalarreko balio absolutuen papera norma bektorialek hartzen dute. Puntu finkoaren ordenaren teorema ere orokortzen da: $x^{(k+1)}=G(x^{(k)})$ eskemak $p$ ordena du baldin $G(\alpha)=\alpha$ bada eta $g_i$ osagaien deribatu partzial guztiak $p-1$ ordenaraino anulatzen badira $\alpha$ -n, $p$ ordenako bat ez-nulua izanik. Errore-ekuazioa $e^{(k+1)}=L\,(e^{(k)})^p+\mathcal{O}\bigl((e^{(k)})^{p+1}\bigr)$ idazten da, non $e^{(k)}=x^{(k)}-\alpha$ eta $L$ $F$ -ren Taylor garapen aldagai anitzekotik eratorritako funtzio $p$ -lineala den.

$\alpha$ ezagutu gabe, ordena ACOC multidimentsionalarekin estimatzen da, eskalarraren berdina baina normekin:

ACOC=\frac{\ln\bigl(\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|/\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|\bigr)}{\ln\bigl(\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\|/\|x^{(k-1)}-x^{(k-2)}\|\bigr)},\qquad k=2,3,\dots

Gelditze-irizpideak

Azken bi iteratuak oso hurbil daude: $\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|<\varepsilon$ .
Hondarra oso txikia da: $\|F(x^{(k+1)})\|<\varepsilon$ .
Iterazio kopuru maximora iritsi da konbergitu gabe.