GidaSistema ez-linealakaurreratua

Ordena altua sistemetan: Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt eta RN

Newton-ekin konposatzea eta jacobiar izoztua: nola irabazi ordena bat konposizioz jacobiar berririk ebaluatu gabe, eta Traub, Golden Ratio, NA, Jarratt bektoriala eta RN (5-6 ordena) familiak.

Konposizioa jacobiar izoztuarekin

pp ordenako metodo bat, z(k)=Φ(x(k),y(k))z^{(k)}=\Phi(x^{(k)},y^{(k)}), Newton-en pauso oso batekin konposatzeak 2p2p ordena ematen du, baina z(k)z^{(k)}-n jacobiar berri bat ebaluatzea (eta faktorizatzea) eskatzen du. Alternatiba merkea dagoeneko faktorizatutako jacobiarra berrerabiltzea da:

z(k)=Φ(x(k),y(k)),x(k+1)=z(k)−[F′(x(k))]−1F(z(k))z^{(k)}=\Phi(x^{(k)},y^{(k)}),\qquad x^{(k+1)}=z^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(z^{(k)})

Adibiderik sinpleena Traub-en metodo bektoriala da: Newton (2. ordena) eta ondoren pauso bat jacobiar izoztuarekin, 2+1=32+1=3 ordenakoa:

z(k)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k))x(k+1)=z(k)−[F′(x(k))]−1F(z(k))\begin{aligned} z^{(k)}&=x^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})\\ x^{(k+1)}&=z^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(z^{(k)}) \end{aligned}
Traub-en metodoa sistemetarako, 3. ordena.

Golden Ratio eta NA metodoa

Ideia pauso haztatuekin orokortuz, ηj(x(k))=x(k)−aj[F′(x(k))]−1F(x(k))\eta_j(x^{(k)})=x^{(k)}-a_j[F'(x^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)}), familia hau lortzen da: x(k+1)=x(k)−[F′(x(k))]−1(∑jbjF(ηj(x(k))))x^{(k+1)}=x^{(k)}-[F'(x^{(k)})]^{-1}\bigl(\sum_j b_jF(\eta_j(x^{(k)}))\bigr). Bi pausoko kidea Golden Ratio metodoa da, 3. ordenakoa, izen hori duena bere parametroek 5\sqrt5 dutelako: a=−1±52a=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}, b=3±52b=\frac{3\pm\sqrt5}{2}.

y(k)=x(k)−a[F′(x(k))]−1F(x(k))x(k+1)=x(k)−b[F′(x(k))]−1F(y(k))\begin{aligned} y^{(k)}&=x^{(k)}-a\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})\\ x^{(k+1)}&=x^{(k)}-b\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(y^{(k)}) \end{aligned}
Golden Ratio metodoa, 3. ordena.

Golden Ratio jacobiar izoztuko pauso batekin konposatuz NA metodoa lortzen da, 4. ordenakoa, iterazio bakoitzeko jacobiarraren ebaluazio bakarrarekin. Bere eraginkortasun-indizeek Newton-enak eta Golden Ratio-renak gainditzen dituzte n>1n>1 guztietarako: INA=41/(n2+3n)>IGR=31/(n2+2n)>IN=21/(n2+n)I_{NA}=4^{1/(n^2+3n)}>I_{GR}=3^{1/(n^2+2n)}>I_N=2^{1/(n^2+n)}.

y(k)=x(k)−a[F′(x(k))]−1F(x(k))z(k)=x(k)−b[F′(x(k))]−1F(y(k))x(k+1)=z(k)−[F′(x(k))]−1F(z(k))\begin{aligned} y^{(k)}&=x^{(k)}-a\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})\\ z^{(k)}&=x^{(k)}-b\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(y^{(k)})\\ x^{(k+1)}&=z^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(z^{(k)}) \end{aligned}
NA metodoa, 4. ordena jacobiar bakarrarekin.

Jarratt bektoriala eta RN metodoa

Jarratt-en metodoa ere sistemetara hedatzen da, bere 4. ordena mantenduz:

y(k)=x(k)−23[F′(x(k))]−1F(x(k))x(k+1)=x(k)−12[3F′(y(k))−F′(x(k))]−1(3F′(y(k))+F′(x(k)))[F′(x(k))]−1F(x(k))\begin{aligned} y^{(k)}&=x^{(k)}-\tfrac{2}{3}\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})\\ x^{(k+1)}&=x^{(k)}-\tfrac{1}{2}\bigl[3F'(y^{(k)})-F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}\bigl(3F'(y^{(k)})+F'(x^{(k)})\bigr)\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)}) \end{aligned}
Jarratt-en metodoa sistemetarako, 4. ordena.

Trukean, bi jacobiar ebaluatzen ditu eta bi koefiziente-matrize desberdineko sistema linealak ebazten ditu: IJ=41/(2n2+n)I_J=4^{1/(2n^2+n)}. Newton-en aldaera batekin konposatuz RN metodoa lortzen da, hirugarren pauso batekin: x(k+1)=z(k)−[aF′(x(k))+bF′(y(k))]−1F(z(k))x^{(k+1)}=z^{(k)}-\bigl[aF'(x^{(k)})+bF'(y^{(k)})\bigr]^{-1}F(z^{(k)}).