GidaOinarriakertaina

Taylor eta trunkatze-errorea

Taylor-en teorema eta bere hondarra, zergatik den hondarra trunkatze-errorea, eta nola sortzen diren hemendik ikasgai osoak erabiliko dituen diferentzia finituak.

Taylor-en teorema

Taylor-en serieak funtzio bat a puntu baten inguruan garatzen du polinomio gisa. Lehen n terminoak soilik hartuz trunkatze-errore bat egiten dugu, teoremak hondar-termino batekin kuantifikatzen duena.

x−a h pausu baten ordenakoa bada, hondarra h^{n+1} ordenakoa da. Berretzaile hori metodoaren ordena da, eta Taylor da diferentzia finituetan, kuadraturan eta EDOetan justifikatzen duen tresna.

Taylor-etik diferentzia finituetara

Deribatuak hurbiltzeko, tartea nodo ekidistanteetan diskretizatzen da, xi=a+ihx_i=a+ih, h=b−anh=\frac{b-a}{n} pausuarekin. Taylor lehen ordenean trunkatuz nodo auzokideen artean diferentzia finituak agertzen dira, deribazio numerikoan xehetasunez aztertzen direnak.

xi=a+ih,h=b−an,i=0,1,…,nx_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n},\qquad i=0,1,\dots,n
FrogapenaFrogapena: diferentzia finituak Taylor-etikIkusi orri propio gisa →

  1. Taylor hartzen dugu a=xia=x_i eta x=xi+1x=x_{i+1}-ekin, lehen ordenean geldituz. Deribatua askatuz diferentzia progresiboa lortzen dugu:

    f(xi+1)=f(xi)+f′(xi)(xi+1−xi)+R1 ⟹ f′(xi)≈f(xi+1)−f(xi)xi+1−xif(x_{i+1})=f(x_i)+f'(x_i)(x_{i+1}-x_i)+R_1\ \Longrightarrow\ f'(x_i)\approx\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}

  2. a=xi−1a=x_{i-1} eta x=xix=x_i-rekin (atzera begiratuz) diferentzia erregresiboa ateratzen da:

    f′(xi)≈f(xi)−f(xi−1)xi−xi−1f'(x_i)\approx\frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}

  3. Garapen progresiboa ken erregresiboa kenduz termino bikoitia ezabatzen da eta diferentzia zentrala agertzen da, zehatzagoa. Nodo ekidistanteekin (h pausua), x_{i+1}−x_{i−1}=2h:

    f′(xi)≈f(xi+1)−f(xi−1)xi+1−xi−1=f(xi+1)−f(xi−1)2hf'(x_i)\approx\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{x_{i+1}-x_{i-1}}=\frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}