Frogapena: diferentzia finituak Taylor-etik
Nola Taylor-en garapen trunkatuak lehen deribatuaren diferentzia finitu progresiboa, erregresiboa eta zentrala ematen dituen.
Frogapenak
Nola lortzen den formula bakoitza, urratsez urrats.
Oinarriak
Interpolazioa
Frogapena: Newtonen koefizienteak diferentzia zatituen bidez
Nondik ateratzen diren eta polinomioa puntuetatik pasatzera behartzean, eta nola errekurtsioak ordena altuagoko koefiziente guztiak sortzen dituen.
Frogapena: Lagrangeren oinarri-funtzioak
Nola nodo batean 1 eta gainerakoetan 0 balio izateko eskakizunak funtzioen biderkadura-forma behartzen duen.
Deribazioa
Frogapena: hiru puntuko progresiboa O(h²)
Nola konbinatu bi Taylor-garapen bigarren deribatua ezabatzeko eta lehen deribatuaren 2. ordenako diferentzia progresiboa lortzeko.
Frogapena: Richardson-ek ordena igotzen du
Errore-formatik estrapolazio-formulara: zergatik eta konbinatzeak terminoa ezabatzen duen.
Integrazioa
Frogapena: trapezioaren erregela
[a,b] tartean Lagrangeren interpolatzaile lineala integratzea, trapezioaren erregela eta interpretazio geometrikoa lortzeko.
Frogapena: trapezio konposatua
n azpitartetan trapezio sinpleak batuz 1,2,...,2,1 pisuetara eta errore globalera iristea.
Frogapena: erdiko puntu sinplea
Funtzioa erdiko altuera batez ordezkatzea eta laukizuzen zentratuaren erregela eta errorea lortzea.
Frogapena: erdiko puntu konposatua
Erdiko puntua n azpitartetara orokortzea, bloke bakoitzaren zentroak erabiliz eta errore lokalak batuz.
Frogapena: Simpson 1/3
Hiru nodo ekidistantetik Simpsonen 1, 4, 1 pisuetara, Lagrangeren bigarren graduko polinomioa integratuz.
Frogapena: bi puntuko Gauss-Legendre
Nola ezarri 3. gradurainoko zehaztasuna tartean nodoak eta 1 pisuak lortzeko.
EDA
Dedukzioa: Euler-en metodoa eta bere ordena
Hiru bide independentek Euler-en formulara eramaten dute (Taylor, zatidura inkrementala eta integrazioa), eta Taylor-en hondarraren analisiak metodoa 1. ordenakoa dela frogatzen du.
Dedukzioa: Euler inplizitua
Nodo berriko deribatua atzeranzko diferentzia batez hurbiltzeak Euler-en metodo inplizitua eta pauso bakoitzean ebatzi beharreko ekuazio ez-lineala sortzen ditu.
Dedukzioa: Heun-en metodoa
Heun-en dedukzio osoa: bigarren ordenarainoko Taylor-en garapenaren bidez, f-ren bi aldagaiko Taylor-ekin konbinatuta, eta trapezio-erregelaren bidez Euler-en iragarpenarekin.
Dedukzioa: 4. ordenako Runge-Kutta
Simpson-en erregela PVIaren forma integralari aplikatzeak eta malda ezezagunak kateatutako barne-ebaluazioekin hurbiltzeak RK4 klasikoa sortzen du eta bere 1, 2, 2, 1 pisuak azaltzen ditu.
Dedukzioa: 2 pausoko Adams-Bashforth (AB2)
AB2-ren eraikuntza osoa: PVIaren forma integrala, f-ren Lagrange interpolatzailea aurreko bi nodoetan, aldagai-aldaketa, integralak gaiez gai kalkulatuta, errore lokala eta AB3 eta AB4-rako orokortzea.
Dedukzioa: pauso bateko Adams-Moulton (AM2)
AM2-ren eraikuntza osoa: nodo berria barne hartzen duen Lagrange interpolatzailea, aldagai-aldaketa, 1/2-1/2 pisu kalkulatuak, trapezio-erregelarekiko lotura eta errore lokala.
Sistema linealak
Frogapena: Jacobiren iterazio-matrizea
Ezezagun bakoitza bere ekuaziotik askatzetik x=−D⁻¹(L+U)x+D⁻¹b forma matrizialera.
Ekuazio ez-linealak
Dedukzioa: Newton-Raphson eta bere ordena koadratikoa
Newton-en formula zuzen ukitzailearen bidez eta Kalkuluaren Oinarrizko Teoremaren bidez, eta Taylor-ekin haren errore-ekuazioa koadratikoa dela erakusten duen frogapen osoa.
Dedukzioa: bisekzioaren errore-kota
Zergatik murrizten den bisekzioaren errorea erdira iterazio bakoitzean, eta nola aurreikusi aldez aurretik tolerantzia jakin batek zenbat iterazio eskatzen dituen.
Dedukzioa: puntu finkoaren konbergentzia eta ordena
Taylor bidez puntu finkoaren inguruan garatzeak metodoaren errore-ekuazioa sortzen du eta aldi berean irizpidea eta ordenaren teorema frogatzen ditu.
Sistema ez-linealak
Dedukzioa: Newton sistemetarako linealizazioz
Lehen ordenako Taylor garapen aldagai anitzekoak F linealizatzen du uneko iteratuaren inguruan; linealizazio hori anulatzeak Newton-en pausoa ematen du, jacobiarra deribatuaren paperean dela.