GidaSistema ez-linealakertaina

Newton sistema ez-linealetarako

Newton-en metodoaren bertsio bektoriala: deribatua matrize jacobiarra bihurtzen da, zatidura iterazio bakoitzeko sistema lineal bat bihurtzen da, eta ordena koadratikoa mantentzen da.

Deribatutik jacobiarrera

Newton eskalarrean f′(xk)f'(x_k)-z zatitzen da, baina matrizeen artean ez dago zatidurarik: f′f'-ren papera F′(X)F'(X) matrize jacobiarrak hartzen du, [F′(X)]ij=∂fi∂xj(X)\bigl[F'(X)\bigr]_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(X) osagaiekin, eta zatidura alderantzizkoaz ordezkatzen da:

x(k+1)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k)),k=0,1,2,…x^{(k+1)}=x^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)}),\qquad k=0,1,2,\dots
Newton-en metodoa sistemetarako.
FrogapenaDedukzioa: Newton sistemetarako linealizaziozIkusi orri propio gisa →

Linealizatu eta anulatu

  1. Matrize jacobiarrak funtzio koordenatuen lehen deribatu partzial guztiak biltzen ditu:

    F′(X)=[∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn]F'(X)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}

  2. Uneko x(k)x^{(k)} iteratuaren inguruko lehen ordenako Taylor garapen aldagai anitzekoa dedukzio eskalarreko zuzen ukitzailearen bertsio bektoriala da:

    F(X)≈F(x(k))+F′(x(k))(X−x(k))F(X)\approx F\bigl(x^{(k)}\bigr)+F'\bigl(x^{(k)}\bigr)\bigl(X-x^{(k)}\bigr)

  3. Hurbilketa lineal hori anulatzen duen puntua bilatzen dugu (ukitzailearekin ardatza moztearen analogoa). Zerora berdinduz eta askatuz, zatiduraren ordez jacobiarraren alderantzizkoa erabilita:

    x(k+1)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F\bigl(x^{(k)}\bigr)

Adibidea: F eta bere jacobiarra eraiki

Adibidea2×2 sistema bat

Idatzi F(X)=0F(X)=0 eran exey+xcos⁡y=0e^xe^y+x\cos y=0, x+y=1x+y=1 sistema, eta kalkulatu bere matrize jacobiarra.

  1. Dena ezkerreko aldera pasatzen da:

    F(X)=[exey+xcos⁡yx+y−1]=[00]F(X)=\begin{bmatrix} e^xe^y+x\cos y\\ x+y-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

  2. Osagai bakoitza aldagai bakoitzarekiko deribatuz:

    F′(X)=[exey+cos⁡yexey−xsin⁡y11]F'(X)=\begin{bmatrix} e^xe^y+\cos y & e^xe^y-x\sin y\\ 1 & 1 \end{bmatrix}

Sistema hau Newton-ekin ebazten da ariketa ebatzian. Erreparatu x+y=1x+y=1 murrizketaren gainean exey=ex+y=ee^xe^y=e^{x+y}=e betetzen dela: soluzioan, xcos⁡(1−x)=−ex\cos(1-x)=-e.

Ez alderantzikatu jacobiarra

Praktikan, [F′(x(k))]−1F(x(k))[F'(x^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)}) ez da matrizea alderantzikatuz kalkulatzen: askoz merkeagoa da iterazio bakoitzean sistema lineala ebaztea

[F′(x(k))] u=F(x(k)),x(k+1)=x(k)−u\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]\,u=F(x^{(k)}),\qquad x^{(k+1)}=x^{(k)}-u

Sistema ez-lineal bat ebazteak, beraz, iterazio bakoitzeko sistema lineal bat ebaztea eskatzen du: bi gaiak kateatuta daude. Ebazpen horren kostuak (n33+n2−n3\frac{n^3}{3}+n^2-\frac{n}{3} biderketa/zatiketa Gauss-en eliminazioz) metodoaren kostu osoa menderatzen du eta eraginkortasunaren analisiaren protagonista da.

Kuadratura bidezko egokitzapenak

Kuadraturetan oinarritutako metodo eskalarrak zuzenean egokitzen dira, zatidura → sistema lineal ordezkapen berarekin. y(k)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k))y^{(k)}=x^{(k)}-[F'(x^{(k)})]^{-1}F(x^{(k)}) hartuta (Newton-en pauso bat iragarle gisa):

x(k+1)=x(k)−2[F′(y(k))+F′(x(k))]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-2\bigl[F'(y^{(k)})+F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F(x^{(k)})
Trapezioen metodoa sistemetarako.
x(k+1)=x(k)−[F′ ⁣(x(k)+y(k)2)]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-\left[F'\!\left(\frac{x^{(k)}+y^{(k)}}{2}\right)\right]^{-1}F(x^{(k)})
Erdiko puntuaren metodoa sistemetarako.
x(k+1)=x(k)−6[F′(x(k))+4F′ ⁣(x(k)+y(k)2)+F′(y(k))]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-6\left[F'(x^{(k)})+4F'\!\left(\frac{x^{(k)}+y^{(k)}}{2}\right)+F'(y^{(k)})\right]^{-1}F(x^{(k)})
Simpson-en metodoa sistemetarako.