GidaIntegrazioaertaina

Newton-Cotes irekiak eta erdiko puntua

Tartearen muturrak saihesten dituzten erregela irekiak, erdiko puntu sinpleari eta konposatuari arreta berezia jarrita.

Zergatik diren irekiak

Formula irekiek barruko nodoak bakarrik erabiltzen dituzte. Erabilgarriak dira muturrak definituta ez daudenean, singularrak direnean edo neurtu ez direnean.

Erregela irekiaHurbilketa sinpleaErrore nagusia
Punto medio(b-a) f((a+b)/2)(b-a)^3 f''(xi)/24
Dos nodos interiores(b-a)/2 [f((2a+b)/3)+f((a+2b)/3)]3h^3 f''(xi)/4, h=(b-a)/3
Tres nodos interiores(b-a)/3 [2f((3a+b)/4)-f((a+b)/2)+2f((a+3b)/4)]14h^5 f^(4)(xi)/45, h=(b-a)/4

Erdiko puntu sinplea

Erdiko puntu sinpleak kurba laukizuzen batez ordezkatzen du, eta altuera tartearen erdian neurtzen da. Funtzioaren balio bakarra erabiltzen du, ez muturrak.

abmf(m)(b-a) f(m)f funtzioaerdiko puntua
Hurbilketa b−ab-a oinarriko eta f(m)f(m) altuerako laukizuzenaren azalera da, m=(a+b)/2m=(a+b)/2 izanik.
Handitu diagrama

Hurbilketa b−ab-a oinarriko eta f(m)f(m) altuerako laukizuzenaren azalera da, m=(a+b)/2m=(a+b)/2 izanik.

Dedukzio zuzena

  1. Tartearen erdiko puntua definitzen dugu:

    m=a+b2m=\frac{a+b}{2}

  2. f(x)f(x) konstante batez hurbiltzen dugu [a,b][a,b] osoan: f(m)f(m).

    ∫abf(x) dx≈∫abf(m) dx\int_a^b f(x)\,dx\approx\int_a^b f(m)\,dx

  3. f(m)f(m) ez denez xx-ren araberakoa, integraletik kanpora ateratzen da eta laukizuzenaren azalera geratzen da:

    M1=(b−a)f ⁣(a+b2)M_1=(b-a)f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)

  4. f∈C2[a,b]f\in\mathcal{C}^2[a,b] bada, errore zehatzak zeinu positiboa du E=I−M1E=I-M_1 konbentzioan:

    EM=∫abf(x) dx−M1=(b−a)324f′′(ξ)E_M=\int_a^b f(x)\,dx-M_1=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)

Erdiko puntu konposatua

Erdiko puntua n azpitartetan erabiltzeko, [a,b] tartea h=(b−a)/nh=(b-a)/n pausoz banatzen da eta funtzioa azpitarte bakoitzaren erdian ebaluatzen da. Notazio honek ez du n bikoitia izatea eskatzen.

zabalera hx₀x₁x₂x₃xₙm₀m₁m₂mᵢaltuerak f(m_i)
Erdiko puntu konposatuak hh zabalerako laukizuzenak batzen ditu. Altuera bakoitza f(mi)f(m_i) da, mim_i bere azpitartearen erdian dagoela.
Handitu diagrama

Erdiko puntu konposatuak hh zabalerako laukizuzenak batzen ditu. Altuera bakoitza f(mi)f(m_i) da, mim_i bere azpitartearen erdian dagoela.

n azpitartetarako dedukzioa

  1. Partizioaren nodoak eta azpitarte bakoitzaren erdigunea hartzen ditugu:

    xi=a+ih,mi=xi+xi+12=a+(i+12)hx_i=a+ih,\qquad m_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}=a+\left(i+\frac12\right)h

  2. [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] azpitartean erdiko puntu sinplea erabiltzen dugu:

    Mi=hf(mi)M_i=h f(m_i)

  3. Erregela konposatua laukizuzen guztien batura da:

    Mn=h∑i=0n−1f(mi)=h∑i=0n−1f ⁣(a+(i+12)h)M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f(m_i)=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\frac12\right)h\right)

  4. h3f′′(ξi)/24h^3 f''(\xi_i)/24 errore lokalak batuz errore globala lortzen da:

    EM=h324∑i=0n−1f′′(ξi)=b−a24h2f′′(ξ)E_M=\frac{h^3}{24}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)=\frac{b-a}{24}h^2f''(\xi)

Dedukzioak

FrogapenaFrogapena: erdiko puntu sinpleaIkusi orri propio gisa →
abmf(m)(b-a) f(m)f funtzioaerdiko puntua
Oinarria b−ab-a da eta altuera m=(a+b)/2m=(a+b)/2 puntuan hartzen da.
Handitu diagrama

Oinarria b−ab-a da eta altuera m=(a+b)/2m=(a+b)/2 puntuan hartzen da.

Erregela eta errorea

  1. Tartearen zentroa definitzen dugu:

    m=a+b2m=\frac{a+b}{2}

  2. Funtzioa f(m)f(m) konstanteaz hurbiltzen dugu:

    ∫abf(x) dx≈∫abf(m) dx\int_a^b f(x)\,dx\approx\int_a^b f(m)\,dx

  3. f(m)f(m) konstantea denez xx-rekiko, integrala oinarria bider altuera da:

    M1=(b−a)f(m)=(b−a)f ⁣(a+b2)M_1=(b-a)f(m)=(b-a)f\!\left(\frac{a+b}{2}\right)

  4. mm inguruko Taylorren gai linealak ez du azalera garbirik ematen simetriagatik. Geratzen den lehen gaia f′′f''-ren araberakoa da:

    ∫abf(x) dx−M1=(b−a)324f′′(ξ)\int_a^b f(x)\,dx-M_1=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi)
FrogapenaFrogapena: erdiko puntu konposatuaIkusi orri propio gisa →
zabalera hx₀x₁x₂x₃xₙm₀m₁m₂mᵢaltuerak f(m_i)
Laukizuzen bakoitzak hh zabalera eta f(mi)f(m_i) altuera ditu.
Handitu diagrama

Laukizuzen bakoitzak hh zabalera eta f(mi)f(m_i) altuera ditu.

n azpitartetarako formula

  1. [a,b][a,b] tartea hh pausoz zatitzen dugu:

    xi=a+ih,h=b−anx_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n}

  2. [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] azpitartearen zentroa hau da:

    mi=xi+xi+12=a+(i+12)hm_i=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}=a+\left(i+\frac12\right)h

  3. Azpitarte bakoitzean erdiko puntu sinplea aplikatzen dugu:

    Mi=hf(mi)M_i=h f(m_i)

  4. Laukizuzen guztiak batzen ditugu:

    Mn=h∑i=0n−1f(mi)M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f(m_i)

  5. mim_i-ren adierazpena ordezkatuz forma konputagarria geratzen da:

    Mn=h∑i=0n−1f ⁣(a+(i+12)h)M_n=h\sum_{i=0}^{n-1}f\!\left(a+\left(i+\frac12\right)h\right)

  6. Errore globala erdiko puntu sinplearen errore lokalak batuz lortzen da:

    EM=h324∑i=0n−1f′′(ξi)=b−a24h2f′′(ξ)\begin{aligned}E_M&=\frac{h^3}{24}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)\\&=\frac{b-a}{24}h^2f''(\xi)\end{aligned}