GidaDeribazioaaurreratua

Richardson-en estrapolazioa

Nola konbinatu bi hurbilketa $h$ eta $h/2$ pausuekin errore-termino nagusia ezabatzeko eta ordena igotzeko, termino guztietarako eta berretura bikoitietarako formulekin.

Ideia: errore nagusia ezabatu

$M$ balio zehatzaren $N_1(h)$ hurbilketa baten errore-forma ezagutzen badugu, $N_1(h)$ eta $N_1(h/2)$ konbina ditzakegu errorearen lehen terminoa ezabatzeko. Prozesua errepikatzeak ordena igotzen du aldiro.

M=N_1(h)+k_1 h+k_2 h^2+k_3 h^3+\cdots\quad(\mathcal{O}(h))

Kasu orokorra eta berretura bikoitiak

Erroreak h-ren berretura guztiak dituenean, urrats bakoitzak ordena bat irabazten du. Simetriaz berretura bikoitiak soilik badaude (zentralarena bezala), urrats bakoitzak bi ordena irabazten ditu eta pisuak aldatzen dira.

FrogapenaFrogapena: Richardson-ek ordena igotzen duIkusi orri propio gisa →

Berretura guztien errorearetik abiatzen gara eta $h/2$ pausuarekin ere ebaluatzen dugu:
$\begin{aligned} M&=N_1(h)+k_1 h+k_2 h^2+\cdots\\ M&=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+k_1\tfrac{h}{2}+k_2\tfrac{h^2}{4}+\cdots \end{aligned}$
$2\cdot(\text{bigarrena})-(\text{lehena})$ egiten dugu. $k_1h$ terminoa ezabatu eta $\mathcal{O}(h^2)$ errorea geratzen da:
$M=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+\left[N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-N_1(h)\right]-k_2\tfrac{h^2}{2}-\cdots$
Zati ezagunari $N_2(h)$ deitzen diogu: 2. ordenako hurbilketa da. $\tfrac13$ , $\tfrac{1}{15}$ , … pisuekin errepikatzeak ordena gehiago igotzen du.
$N_2(h)=N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)+\left[N_1\!\left(\tfrac{h}{2}\right)-N_1(h)\right]$