GidaInterpolazioaoinarrizkoa

Interpolazioa: ideia, existentzia eta errorea

Zer den interpolatzea, zergatik erabiltzen diren polinomioak, Weierstrass-en teorema, polinomio interpolatzailearen bakartasuna eta Newton, Lagrange eta Hermiterentzat komuna den errore-kota.

Zer problema ebazten du interpolazioak

Datu-taula batetik abiatzen gara: funtzio baten balioa puntu gutxi batzuetan ezagutzen dugu, baina ez haren adierazpena. Interpolatzea funtzio sinple bat, askotan polinomio bat, eraikitzea da, puntu horietatik pasatu eta neurtu ez ditugun tarteko balioak estimatzeko.

Estimatu nahi dugun puntua datuen tartearen barruan badago, interpolazioaz ari gara. Kanpoan badago, estrapolazioaz ari gara, askoz fidagarritasun txikiagokoa, polinomioa han kontrolatu gabe dagoelako.

Polinomioak erabiltzen dira haien deribatuak eta integralak berriro polinomioak direlako eta ebaluatzeko errazak direlako. Hurrengo $n$ graduko forma generikoa da bilatzen dugun objektua:

p_n(x)=\sum_{i=0}^{n} a_i x^i,\qquad n\ge 0,\ a_i\in\mathbb{R}

Existentzia eta bakartasuna

Interpolazioak gertaera indartsuago bat erabiltzen du: abzisa desberdineko $n+1$ puntu emanik, badago $n$ baino gradu txikiago edo berdineko polinomio bakar bat guztietatik pasatzen dena. Newtonek, Lagrangek eta Hermitek ez dituzte polinomio desberdinak ematen: polinomio bera ematen dute modu desberdinean idatzita, bakoitza helburu baterako erosoa.

Errore-kota

Familia guztiek errore-adierazpen bera partekatzen dute. $f$ nahikoa deribagarria bada $[a,b]$ -n eta $p_n$ -k $x_0<\dots<x_n$ puntuetan interpolatzen badu, orduan $x$ bakoitzarentzat badago $\xi$ bat tartean non:

f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)

Errorea bi gauzaren araberakoa da: $n+1$ ordenako deribatua (funtzioarena) eta nodoetarako distantzien biderkadura (non ebaluatzen duzunarena). Nodoetatik hurbil biderkadura txikia da; oso urrunduta dauden nodoen artean edo tartetik kanpo asko haz daiteke.