GidaEkuazio ez-linealakoinarrizkoa

Ekuazio ez-linealak: problema eta metodo iteratiboak

f(x)=0f(x)=0 ebazteak zer esan nahi duen, zergatik jotzen den metodo iteratiboetara, nola sailkatzen diren (memoria, puntuak, deribatuak) eta zein irizpiderekin gelditzen den iterazioa.

Problema

Zientzia eta ingeniaritzako problema asko ekuazio ez-lineal batean amaitzen dira: erro sinple bat, α\alpha, aurkitzea honako honena:

f(x)=0,f:D⊆R⟶Rf(x)=0,\qquad f:D\subseteq\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}

Hiru bide daude. Analitikoak ekuazio-familia jakinetan bakarrik funtzionatzen du. Grafikoak (ff irudikatu eta ardatza non mozten duen begiratu) erroa lokalizatzen du baina ez du doitasunik ematen: f(x)=cos⁡2x−xf(x)=\cos^2 x-x funtzioarentzat erroa 0.650.65 inguruan dagoela ikusten da, eta besterik ez. Hirugarren bidea metodo iteratiboak dira: hasierako estimazio batetik edo batzuetatik abiatuta, {x0,x1,x2,… }\{x_0,x_1,x_2,\dots\} segida bat sortzen dute, nahi den doitasunarekin α\alpha-ra konbergitzen duena.

Memoriarik gabeko metodo gehienak puntu finkoko iterazio gisa idazten dira: xk+1=ϕ(xk)x_{k+1}=\phi(x_k). Adibide nagusia Newton-Raphson metodoa da, ϕ(x)=x−f(x)f′(x)\phi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)} duena.

Metodo iteratiboen sailkapena

  • Memoriarik gabe / memoriarekin: lehenengoek uneko iteratua bakarrik erabiltzen dute, xk+1=ϕ(xk)x_{k+1}=\phi(x_k); bigarrenek aurreko iteratuak ere bai, xk+1=ϕ(xk,xk−1,…,xk−m)x_{k+1}=\phi(x_k,x_{k-1},\dots,x_{k-m}), eta hasierako hainbat estimazio behar dituzte. Sekantea da memoriadun adibide klasikoa.
  • Puntu bakarrekoak / puntu anitzekoak: puntu anitzekoek funtzioa tarteko puntuetan ebaluatzen dute iterazio berean (iragarle-zuzentzaile egitura), Traub-en metodoak edo ordena altuko metodoek bezala.
  • Deribatuekin / deribatu gabeak: f′f' ezagutzen ez denean edo garestia denean, diferentzia zatituez ordezkatzen da, sekanteak eta Steffensen-ek egiten duten bezala.

Gelditze-irizpideak eta tolerantzia

Metodo iteratibo batek noiz gelditu jakin behar du. Ohiko baldintzak, bakarrik edo konbinatuta, hauek dira:

  • Azken bi iteratuak oso hurbil daude: ∣xk+1−xk∣<ε|x_{k+1}-x_k|<\varepsilon.
  • Hondarra oso txikia da: ∣f(xk+1)∣<ε|f(x_{k+1})|<\varepsilon.
  • Iterazio kopuru maximora iritsi da konbergitu gabe (begizta infinituetatik babesten du metodoak dibergitzen duenean).

ε\varepsilon balioa tolerantzia da. Doitasun bikoitzeko aritmetikarekin ez du zentzurik makinaren doitasunaren azpiko tolerantziak eskatzeak; muturreko tolerantziekin egindako konbergentzia-azterketek (10−10010^{-100} adibidez, ariketa konparatiboan) doitasun hedatuko aritmetika erabiltzen dute.