Runge-Kutta metodoa (RK4) | Métodos Numéricos

Lau malda pauso bakoitzeko

Laugarren ordenako Runge-Kutta metodo klasikoak $f$ malda lau aldiz ebaluatzen du pauso bakoitzeko: behin hasieran, bitan erdiko puntuan eta behin amaieran, bakoitzak aurrekoa erabiliz non ebaluatu estimatzeko:

\begin{aligned} k_1&=f(t_k,\,y_k)\\ k_2&=f\!\left(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_1\right)\\ k_3&=f\!\left(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_2\right)\\ k_4&=f(t_k+h,\,y_k+h\,k_3) \end{aligned}

y_{k+1}=y_k+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr)

4. ordenako Runge-Kutta klasikoa (RK4).

RK4-k hasieran malda bat, erdiko puntuan bi estimazio eta amaieran beste bat hartzen ditu; batez besteko ponderatuak Simpson imitatzen du forma integralean.

Dedukzioa

$1,2,2,1$ egitura $6$ izendatzailearekin ez da kasualitatea: Simpson-en erregelaren pisuak dira, hain zuzen, PVIaren forma integralari aplikatuta.

FrogapenaDedukzioa: 4. ordenako Runge-KuttaIkusi orri propio gisa →

RK4-ren lau etapek Simpson-en malda zehatzak kateatutako barne-ebaluazioekin ordezkatzen dituzte.

Lehenik ekuazio diferentziala $[t_k,t_{k+1}]$ azpitartean integratzen dugu:
$\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau$
Ezkerreko aldeari Kalkuluaren Oinarrizko Teorema aplikatuz, PVIaren forma integral zehatza geratzen da:
$y(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau$
Integrala Simpson-en erregelarekin hurbiltzen dugu, muturrak eta erdiko puntua $t_{k+\frac12}=t_k+\frac{h}{2}$ erabiltzen dituena:
$\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\,d\tau\approx\frac{h}{6}\Bigl(f(t_k,y_k)+4f\bigl(t_{k+\frac12},y_{k+\frac12}\bigr)+f(t_{k+1},y_{k+1})\Bigr)$
Arazoa: ez dakigu ez $y_{k+\frac12}$ ez $y_{k+1}$ . Runge-Kuttaren irtenbidea kateatutako barne-maldekin estimatzea da, bakoitza aurrekoarekin aurrera eginez eraikia:
$\begin{aligned} k_1&=f(t_k,\,y_k)\\ k_2&=f\bigl(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_1\bigr)\\ k_3&=f\bigl(t_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{h}{2}k_2\bigr)\\ k_4&=f(t_k+h,\,y_k+h\,k_3) \end{aligned}$
Simpson-en erdiko malda erdiko puntuko bi estimazioen batez bestekoaz hurbiltzen da, eta amaierakoa $k_4$ -rekin:
$f\bigl(t_{k+\frac12},y_{k+\frac12}\bigr)\approx\frac{k_2+k_3}{2},\qquad f(t_{k+1},y_{k+1})\approx k_4$
Simpson-en ordezkatuz, erdiko puntuaren $4$ pisua honela banatzen da: $4\cdot\frac{k_2+k_3}{2}=2k_2+2k_3$ , eta RK4 klasikoa agertzen da bere $1,2,2,1$ pisuekin:
$y_{k+1}=y_k+\frac{h}{6}\bigl(k_1+2k_2+2k_3+k_4\bigr)$
Heun-enaren antzeko Taylor-en analisi batek (baina laugarren ordenaraino) baieztatzen du barne-hurbilketa horiek $\mathcal{O}(h^5)$ errore lokala mantentzen dutela, eta beraz metodoa 4. ordenakoa dela.

4. ordena eta kostua

4. ordenaren prezioa $f$ -ren lau ebaluazio dira pauso bakoitzeko, Euler-en bakarraren aldean. $f$ ebaluatzea garestia denean, Adams-Bashforth bezalako urrats anitzeko metodoek dagoeneko kalkulatutako maldak berrerabiltzen dituzte eta ordena altua lortzen dute pauso bakoitzeko ebaluazio berri bakarrarekin; trukean, RK4 bezalako urrats bakarreko metodo batek abio-balioak eman behar dizkie.

EDO sistemak

Lehen ordenako sistemetarako hedapena berehalakoa da: $y_k$ eta $f$ beren bertsio bektorialekin ( $Y_k$ eta $F$ ) ordezkatzen dira, eta lau maldak ( $K_1,\dots,K_4$ ) bektore bihurtzen dira. Euler-ekin, adibidez, $Y_{k+1}=Y_k+h\,F(t_k,Y_k)$ . SIR ereduaren ariketak Euler, Heun eta RK4 alderatzen ditu sistema beraren gainean, eta eskuzko ariketak sistema bihurtutako bigarren ordenako ekuazio bat integratzen du.