GidaSistema linealakertaina

Sistema linealak: errorea, hondarra eta baldintza

Metodo zuzenak vs iteratiboak Ax=b-rako, errorearen eta hondarraren arteko aldea, hondarraren araberako gelditze-irizpidea eta zergatik baldintza-zenbakiak erabakitzen duen fidagarria den.

Zuzenak vs iteratiboak

$Ax=b$ ebazteko metodo zuzenak (Cramer, Gauss-Jordan) erabil daitezke, eragiketa kopuru finituan soluziora iristen direnak, edo metodo iteratiboak, gero eta hurbilketa hobeak sortzen dituztenak. Matrize handi, sakabanatu edo gaizki baldintzatuentzat, iteratiboak eraginkorragoak izan ohi dira.

Errorea, hondarra eta gelditzea

Erroreak hurbilketa x* soluzio zehatzarekin alderatzen du; hondarrak ekuazioak zenbat huts egiten duen neurtzen du. Errorea ez da ezagutzen, beraz hondarraren arabera gelditzen da.

e^{(k)}=x^*-x^{(k)},\qquad r^{(k)}=b-Ax^{(k)},\qquad r^{(k)}=Ae^{(k)}

AdibideaGaizki baldintzatutako matrizea

$A=\bigl(\begin{smallmatrix}2 & 6\\ 2 & 6.0001\end{smallmatrix}\bigr)$ eta $b=(8,\,8.0001)^T$ dituen sistemak $x=(1,1)^T$ soluzioa du. Perturbazio txiki batek soluzioa erabat aldatzen du.

Bigarren errenkadan 0.0001 kenduz, soluzioa hau bihurtzen da:
$\tilde x=[4,\ 0]^{t}\quad\text{(muy distinta de } [1,1]^t)$

Baldintza-zenbaki izugarriak azaltzen du:

\mathcal{K}(A)\approx 4.0001\cdot 10^{5}

Eskema iteratibo estazionarioa

Metodo iteratiboak $A=M-N$ partiziotik abiatzen dira, $M$ erraz inbertitzekoa (diagonala, triangeluarra…). $Ax=b$ puntu finko baliokide batean bihurtzen da:

Mx^{(k+1)}=Nx^{(k)}+b\ \Longleftrightarrow\ x^{(k+1)}=Hx^{(k)}+q,\qquad H=M^{-1}N,\ q=M^{-1}b

H iterazio-matrizea da. Metodoa estazionarioa da H prozesu osoan konstantea bada. M-ren aukera desberdinek Jacobi, Gauss-Seidel eta SOR ematen dituzte.