Hasierako balioko problemak | Métodos Numéricos

Zer den hasierako balioko problema bat

Ekuazio diferentzialek sistema dinamikoak modelatzen dituzte: partikula baten ibilbidea, tenperatura baten bilakaera, zirkuitu elektriko bat edo populazio baten hazkundea. Hasierako balioko problema (PVI) batek ekuazio diferentziala eta sistemak hasierako unean duen egoera konbinatzen ditu:

y'(t)=f(t,y(t)),\qquad t\in[a,b],\qquad y(a)=y_a

Adibide klasiko bat populazioetarako Malthus eredua da, $y'(t)=k\,y(t)$ : hazkunde-abiadura banako kopuruaren proportzionala da ( $k<0$ balioarekin desintegrazioa edo gainbehera deskribatzen du). Eredu logistikoak edo Verhulst-enak gai ez-lineal bat gehitzen du, baliabideak mugatuak direnean hazkundea balaztatzeko: $y'(t)=k\,y(t)-p\,y(t)^2$ . Azken hori behin eta berriz agertuko da atal honetako metodoetan adibide gisa.

Soluzioaren existentzia eta bakartasuna

Soluzio bat hurbildu aurretik, komeni da jakitea existitzen dela eta bakarra dela. Funtsezko baldintza da $f$ ez aldatzea azkarregi $y$ -rekiko:

Soluzio jarraitutik soluzio diskretura

Teknika analitikoek soluzio jarraitua $y(t)$ lortzen dute, baina ekuazio-familia jakinetan bakarrik funtzionatzen dute. Metodo numerikoek soluzioa hurbiltzen dute kalkulu analitikoa ezinezkoa edo garestiegia denean: soluzio diskretu bat $y_k\approx y(t_k)$ sortzen dute tartearen partiketa baten nodoen gainean.

t_k=a+kh,\qquad k=0,1,\dots,N,\qquad h=\frac{b-a}{N}

[a,b]

tartearen diskretizazio ekiespaziatua,

h

pausoko

N

azpitartetan.

Arlo honetako metodo guztiek (Euler, Heun, Runge-Kutta eta Adams-en urrats anitzekoak) eskema honi jarraitzen diote: $y_0=y_a$ -tik abiatu eta nodoz nodo aurrera egiten dute, eskuragarri dagoen informaziotik $y_{k+1}$ eraikiz.

Lehen ordenako ekuazio-sistemak

Hainbat magnitude elkarrekin lotuta eboluzionatzen dutenean (adibidez, elkarreragiten duten populazioak), PVIa $m$ funtzio ezezagunekin ( $y_1,\dots,y_m$ ) eta bakoitzeko ekuazio banarekin formulatzen da. $Y(t)=[y_1(t),\dots,y_m(t)]^T$ bektore-notazioarekin sistema kasu eskalarraren berdin-berdin idazten da:

Y'(t)=F\bigl(t,Y(t)\bigr),\qquad Y(a)=\bigl[y_{1,a},\dots,y_{m,a}\bigr]^T

Notazio hori ez da estetika hutsa: urrats bakarreko metodoak sistemari osagaiz osagai aplikatzen zaizkio inolako aldaketa kontzeptualik gabe, SIR eredu epidemikoaren ariketak erakusten duen bezala.

Ordena handiagoko ekuazioak

$m$ ordenako ekuazio batek, $y^{(m)}(t)=f\bigl(t,y,y',\dots,y^{(m-1)}\bigr)$ , PVI bat definitzen du hasierako unean $y$ eta haren deribatuak $m-1$ ordenaraino ezagutzen badira. Numerikoki ebazteko, lehen ordenako sistema bihurtzen da:

Lehen ordenako sistemara murriztea

Aldagai berriak sartzen dira: funtzioa eta haren deribatu jarraituak.
$y_1(t)=y(t),\quad y_2(t)=y'(t),\quad \dots,\quad y_m(t)=y^{(m-1)}(t)$
Aldagai berri bakoitza deribatzean hurrengoa agertzen da, eta azkenak jatorrizko ekuazioa jasotzen du.
$y_1'=y_2,\quad y_2'=y_3,\quad \dots,\quad y_m'=f\bigl(t,y_1,\dots,y_m\bigr)$
Ekuazioaren hasierako baldintzak zuzenean bihurtzen dira sistemarenak: $y_1(a)=y(a)$ , $y_2(a)=y'(a)$ , eta abar. Bilatzen den soluzioa lehen osagaia da, $y(t)=y_1(t)$ .

AdibideaPendulua sistema gisa

Idatzi lehen ordenako sistema gisa $L$ luzerako pendulu baten ekuazioa, $\theta''(t)-\frac{g}{L}\sin\theta(t)=0$ , hasierako angelua $\theta(0)=\pi/6$ eta hasierako abiadura angeluarra $\theta'(0)=0$ direla.

$y_1=\theta$ eta $y_2=\theta'$ hartuta, bigarren ordenako ekuazioa lehen ordenako bi ekuazio bihurtzen da:
$\begin{bmatrix} y_1' \\ y_2' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y_2 \\ \tfrac{g}{L}\sin y_1 \end{bmatrix}$

Sistemaren hasierako baldintzak $y_1(0)=\pi/6$ eta $y_2(0)=0$ dira, eta urrats bakarreko edozein metodok integra dezake bektore-forman.