GidaInterpolazioaertaina

Newtonen interpolazioa eta diferentzia zatituak

Newtonen polinomioa geruzaka eraikia diferentzia zatituekin: forma lineala, koadratikoa eta orokorra, diferentzien taula, errorea eta datu errealekin ebatzitako adibide bat.

Ideia: polinomioa geruzaka

Newtonek polinomioa idazten du nodo berri bakoitzak termino bat gehitzen duen moduan, aurrekoa berregin gabe. Berreduren oinarriaren ordez, biderkadura metatuen oinarria erabiltzen da:

pn(x)=b0+b1(x−x0)+b2(x−x0)(x−x1)+⋯+bn(x−x0)⋯(x−xn−1)p_n(x)=b_0+b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)(x-x_1)+\cdots+b_n(x-x_0)\cdots(x-x_{n-1})

bib_i koefizienteak ii ordenako diferentzia zatituak dira. Forma linealak (bi puntu) ideia finkatzen du:

p1(x)=f(x0)+f(x1)−f(x0)x1−x0⏟f[x1,x0](x−x0)p_1(x)=f(x_0)+\underbrace{\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}}_{f[x_1,x_0]}(x-x_0)

Diferentzia zatituak

Praktikan, taula triangeluar bat betetzen da: lehen zutabea f(xi)f(x_i) balioak dira, bigarrena lehen ordenako diferentziak, eta horrela hurrenez hurren. Polinomioaren koefizienteak goiko diagonala dira.

Newtonen polinomioaren errorea

Ebatzitako adibidea

AdibideaBiztanleria-errolda (4. gradua)

Espainiako biztanleriaren datuekin (milioika) 1971, 1981, 1991, 2001 eta 2011 urteetan (33.956, 37.743, 39.434, 40.847 eta 46.816), estimatu 2005eko biztanleria ahalik eta gradu handieneko Newtonen polinomioarekin.

  1. 5 daturekin gradua 4 da. Diferentzia zatituak kalkulatzen ditugu (taularen goiko diagonala):

    f[x0]=33.956f[x1,x0]=0.3787f[x2,x1,x0]=−0.01048f[x3,…,x0]=0.000303f[x4,…,x0]=0.0000127\begin{aligned} f[x_0]&=33.956\\ f[x_1,x_0]&=0.3787\\ f[x_2,x_1,x_0]&=-0.01048\\ f[x_3,\dots,x_0]&=0.000303\\ f[x_4,\dots,x_0]&=0.0000127 \end{aligned}

  2. Newtonen polinomioa muntatzen dugu koefiziente horiekin:

    p4(x)= 33.956+0.3787 (x−1971)−0.01048 (x−1971)(x−1981)+0.000303 (x−1971)(x−1981)(x−1991)+0.0000127 (x−1971)(x−1981)(x−1991)(x−2001)\begin{aligned} p_4(x)=\ &33.956+0.3787\,(x-1971)\\ &-0.01048\,(x-1971)(x-1981)\\ &+0.000303\,(x-1971)(x-1981)(x-1991)\\ &+0.0000127\,(x-1971)(x-1981)(x-1991)(x-2001) \end{aligned}

2005ean ebaluatuz estimazioa lortzen da:

p4(2005)≈42.315 millonesp_4(2005)\approx 42.315\ \text{millones}

Diferentzia zatituen dedukzioa

FrogapenaFrogapena: Newtonen koefizienteak diferentzia zatituen bidezIkusi orri propio gisa →

  1. p1(x)=b0+b1(x−x0)p_1(x)=b_0+b_1(x-x_0) forma linealetik abiatzen gara eta (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) eta (x1,f(x1))(x_1,f(x_1))-tik pasatzera behartzen dugu:

    {p1(x0)=f(x0)=b0p1(x1)=f(x1)=b0+b1(x1−x0)\begin{cases} p_1(x_0)=f(x_0)=b_0\\ p_1(x_1)=f(x_1)=b_0+b_1(x_1-x_0) \end{cases}

  2. Lehen ekuaziotik b0=f(x0)b_0=f(x_0). Bigarrenean ordezkatuz eta b1b_1 askatuz:

    b1=f(x1)−f(x0)x1−x0=f[x1,x0]b_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f[x_1,x_0]

b1b_1-i lehen ordenako diferentzia zatitua deitzen zaio. Argudio bera hiru punturekin errepikatzeak bigarren ordenako diferentzia ematen du, eta horrela errekurtsio orokorrera iristen da.

f[xn,…,x0]=f[xn,…,x1]−f[xn−1,…,x0]xn−x0f[x_n,\dots,x_0]=\frac{f[x_n,\dots,x_1]-f[x_{n-1},\dots,x_0]}{x_n-x_0}