Wiki

Metodo numerikoen konparatibak

Taula hauek ez dituzte gidak ordezkatzen: metodoa hipotesien, kostuaren eta espero den portaeraren arabera aukeratzeko ikuspegi azkarra dira.

Newton vs sekantea vs bisekzioa

Erro eskalarretarako hiru estrategia: segurtasun globala, abiadura lokala eta iterazio bakoitzeko kostua.

Metodoa	Hipotesiak	Ordena	Kostua	Noiz erabili
Bisekzioa	Jarraitutasuna eta zeinu-aldaketa $[a,b]$ tartean	Lineala; tartea 2z zatitzen da	$f$ -ren ebaluazio berri bat iterazio bakoitzean	Erroa inguratzeko eta hasierako estimazio fidagarria lortzeko
Newton-Raphson	Erro sinplea, $f'$ eskuragarri eta hasierako puntua hurbil	Koadratiko lokala	$f$ eta $f'$ iterazio bakoitzean	Hazi ona eta deribatu merkea daudenean
Sekantea	Bi hasierako estimazio eta $f$ nahikoa erregularra	Superlineala, $p\approx1.618$	$f$ -ren ebaluazio berri bat iterazio bakoitzean	$f'$ ebaluatu nahi edo ezin denean

Irristatu horizontalki taula osoa ikusteko →

Euler vs Heun vs RK4

PVIetarako urrats bakarreko metodoak: zehaztasuna, $f$ -ren ebaluazioak eta erabilera praktikoa.

Metodoa	Ideia	Errore globala	Ebaluazioak	Noiz erabili
Euler esplizitua	Tartearen hasierako maldarekin aurrera egiten du	$\mathcal{O}(h)$	1 pauso bakoitzean	Estimazio azkarretarako edo iragarle gisa
Heun	Euler-en malda eta zuzendutako malda batezbestekatzen ditu	$\mathcal{O}(h^2)$	2 pauso bakoitzean	Euler baino hobekuntza merkea nahi denean
RK4	Lau malda konbinatzen ditu $1,2,2,1$ pisuekin	$\mathcal{O}(h^4)$	4 pauso bakoitzean	Ekuazio inpliziturik ebatzi gabe zehaztasun handia behar denean

Irristatu horizontalki taula osoa ikusteko →

Jacobi vs Gauss-Seidel vs SOR

Metodo iteratibo linealak $A=M-N$ partizio gisa eta beren iterazio-matrizearen bidez.

Metodoa	Partizioa	Eguneratzea	Abantaila	Arriskua
Jacobi	$M=D$	Aurreko iterazioko balioak bakarrik erabiltzen ditu	Sinplea eta paralelizagarria	Astiro konbergitu dezake
Gauss-Seidel	$M=D-L$	Balio berriak kalkulatu bezain laster berrerabiltzen ditu	Askotan Jacobi hobetzen du parametro gehigarririk gabe	Ekuazioen ordenaren menpe dago
SOR	$M=\frac{1}{\omega}D-L$	Gauss-Seidel erlaxatzen du $\omega$ pisu batekin	$\omega$ egokiarekin asko azkar dezake	$\omega$ txar batek konbergentzia okertu edo hautsi dezake

Irristatu horizontalki taula osoa ikusteko →

Lagrange vs Newton vs Hermite vs splineak

Datu berak interpolatzeko lau modu: zer informazio erabiltzen duten, zenbat kostatzen den eraikitzea eta noiz komeni den bakoitza.

Interpolatzailea	Erabiltzen dituen datuak	Eraikuntza	Indargunea	Muga
Lagrange	$f(x_i)$ balioak $n+1$ nodotan	$\ell_i(x)$ oinarri esplizitua, ebatzi beharreko sistemarik gabe	Forma itxia, teoria eta kuadratura-dedukzioetarako aproposa	Nodo bat gehitzeak oinarri osoa berregitera behartzen du
Newton	$f(x_i)$ balioak $n+1$ nodotan	Diferentzia zatituen taula, forma habiaratua	Nodo bat gehitzeak diagonal bat gehiago baino ez du kostatzen	Lagrangeren polinomio bera da: gradu handiko muga berak ditu
Hermite	$f(x_i)$ balioak eta $f'(x_i)$ deribatuak	Diferentzia zatituak nodo errepikatuekin	Nodo bakoitzeko informazioa bikoizten du: $2n+1$ gradua eta doitasun handiagoa	Deribatuak ezagutzea eskatzen du, eta datuetan ez daude beti
Spline kubikoa	$f(x_i)$ balioak nodo guztietan	Sistema tridiagonala momentuentzat, polinomio kubikoa zatiko	Leuna ( $C^2$ ) eta Runge fenomenorik gabea nodo askorekin	Ez du polinomio global bakarra ematen eta sistema bat ebatzi behar da

Irristatu horizontalki taula osoa ikusteko →

Trapezioa vs Simpson vs erdiko puntua vs Gauss

Eguneroko kuadraturak alderatuta: nodoak, errore konposatuaren ordena eta zein egoeratan irabazten duten.

Formula	Nodoak	Errore konposatua	Doitasun-gradua	Noiz erabili
Trapezio konposatua	Ekidistanteak, itxia (muturrak erabiltzen ditu)	$\mathcal{O}(h^2)$	1	Datu tabulatuak; sinplea eta sendoa
Simpson konposatua	Ekidistanteak, itxia, azpitarte kopuru bikoitia	$\mathcal{O}(h^4)$	3	Integrakizun leun tabulatua: bi ordena gehiago nodo bakoitzeko kostu berean
Erdiko puntu konposatua	Ekidistanteak, irekia (muturrak saihesten ditu)	$\mathcal{O}(h^2)$	1	Integrakizuna muturretan ebaluatu ezin denean
Gauss-Legendre	Legendre polinomioen erroak, ez ekidistanteak	$2n-1$ gradua $n$ nodorekin	$2n-1$	$f$ nahi duzun tokian ebaluatu badezakezu eta ebaluazioak garestiak badira

Irristatu horizontalki taula osoa ikusteko →

AB2 vs AM2 vs iragarle-zuzentzailea

2. ordenako urrats anitzekoak aurrez aurre: pauso bakoitzeko kostua, errore-konstantea eta zenbat ordaintzen den egonkortasun inplizituagatik.

Metodoa	Mota	Errore lokala	Kostua pauso bakoitzeko	Oharrak
AB2	Esplizitua, bi pausokoa	$\frac{5}{12}h^3y'''(\xi)$	$f$ -ren ebaluazio berri bat	Abioko balio bat behar du (Heun edo RK4) eta sare uniformea
AM2 (trapezio inplizitua)	Inplizitua, pauso berri bat	$-\frac{1}{12}h^3y'''(\xi)$	$y_{k+1}$ -en ekuazio bat ebatzi	AB2 baino 5 aldiz konstante txikiagoa eta egonkortasun askoz handiagoa
Iragarle-zuzentzailea AB2+AM2	Esplizitua praktikan	Zuzentzailearen ordenakoa	$f$ -ren 2 ebaluazio	AM2-ren doitasuna ekuazio inplizitua ebatzi gabe; iragarle-zuzentzaile diferentziak errorea estimatzen du

Irristatu horizontalki taula osoa ikusteko →