GidaEDAaurreratua

Konbergentzia, kontsistentzia eta ordena

Trunkamendu-errore lokala eta globala, konbergentziaren eta kontsistentziaren definizioa, urrats bakarreko metodoen ordena teorikoak eta ordena numerikoki nola estimatu, soluzio zehatzarekin edo gabe.

Erroreak ebazpen numerikoan

Prozesu infinitu bat (Taylor-en garapen osoa, integral zehatza) prozesu finitu batez ordezkatzean, pauso bakoitzak $L_k(h)$ trunkamendu-errore lokala egiten du. Trunkamendu-errore globalak $N$ errore lokalak metatzen ditu:

L(h)=\frac{1}{h}\max_{1\le k\le N}|L_k(h)|

Errore globalak

h

-ren potentzia bat galtzen du lokalaren aldean:

N\propto 1/h

pauso metatzeak faktore horrez biderkatzen du.

Errore horri aritmetika finituaren biribiltze-errorea gehitzen zaio. Soluzio zehatza ezagutzen bada, nodo bakoitzeko errore totala $e_k=y(t_k)-y_k$ da.

Konbergentzia eta kontsistentzia

Kontsistentziak pauso bakar bati begiratzen dio; konbergentziak, prozesu osoari. Metodo kontsistente batek konbergitzeko, gainera, egonkortasuna behar da: erroreak hedatzean ez handitzea. Hori huts egin dezake pauso handiekin, metodo kontsistenteetan ere, Euler-en egonkortasun-ariketak erakusten duen bezala.

Ordena teorikoak

Metodoa	Errore lokala	Errore globala (ordena)
Euler	$\mathcal{O}(h^2)$	$\mathcal{O}(h)$
Euler implícito	$\mathcal{O}(h^2)$	$\mathcal{O}(h)$
Heun	$\mathcal{O}(h^3)$	$\mathcal{O}(h^2)$
RK4	$\mathcal{O}(h^5)$	$\mathcal{O}(h^4)$

Urrats bakarreko metodoen ordenak (

y

nahikoa erregularra izanik).

Ordenaren estimazio numerikoa

Soluzio zehatza ezagutzen bada, errore maximoa $E_N=\max_{1\le k\le N}|y(t_k)-y_k|$ kalkulatzen da $N$ -ren hainbat baliotarako, aldiro bikoiztuz. Ordena zatidura logaritmikoaren limite gisa agertzen da:

\text{orden}\;\approx\;\log_2\!\left(\frac{E_{N/2}}{E_N}\right)

Soluzio zehatza ezagutzen ez bada, ondoz ondoko bi soluzio diskretu alderatzen dira: $N$ azpitartekoa eta $2N$ -koa nodo berberetan ebaluatuta, $\varepsilon_N=\max_k\bigl|y^{(N)}_k-y^{(2N)}_{2k}\bigr|$ , eta zatidura logaritmiko bera aplikatzen zaie $\varepsilon_N$ -ei. Ordena estimatzeko ariketak bi teknikak aplikatzen dizkie Euler, Heun eta RK4-ri.