GidaEkuazio ez-linealakaurreratua

Ordena altuko metodoak: Halley, Traub, Ostrowski eta Jarratt

Newton baino metodo iteratibo azkarragoak diseinatzeko hiru teknika: kuadratura-formulak, eskemen konposizioa (deribatu izoztuarekin) eta pisu-funtzioak, Chebyshev-Halley eta King familiekin.

Konposizioa: zergatik ez den nahikoa Newton-ak kateatzea

Newton bere buruarekin konposatzeak (Newton bikoitza) 44. ordena ematen du, baina iterazio bakoitzeko 4 ebaluazio eskatzen ditu (ff eta f′f' bi puntutan): ez da optimoa. Deribatua izozteak bigarren pausoan f′(xk)f'(x_k) berrerabiltzea uzten du eta ebaluazio bat aurrezten du, ordena pixka bat galdu arren. Emaitza Traub-en metodoa da (edo Potra-Pták), 3. ordenakoa 3 ebaluaziorekin:

yk=xk−f(xk)f′(xk)xk+1=yk−f(yk)f′(xk)\begin{aligned} y_k&=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\\ x_{k+1}&=y_k-\frac{f(y_k)}{f'(x_k)} \end{aligned}
Traub-en metodoa (Potra-Pták): 3. ordena deribatu izoztuarekin.

Kuadratura-formulak

EDOetarako metodoetan bezala, f(x)=f(xk)+∫xkxf′(t) dtf(x)=f(x_k)+\int_{x_k}^{x}f'(t)\,dt idatz daiteke eta integrala hainbat kuadraturarekin hurbildu, Newton iragarle gisa erabiliz: yk=xk−f(xk)f′(xk)y_k=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}. Trapezio-erregelarekin trapezioen metodoa ateratzen da; erdiko puntuarekin eta Simpson-ekin, haien analogoak:

xk+1=xk−2f(xk)f′(yk)+f′(xk)x_{k+1}=x_k-\frac{2f(x_k)}{f'(y_k)+f'(x_k)}
Trapezioen metodoa.
xk+1=xk−f(xk)f′(xk+yk2)x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'\bigl(\tfrac{x_k+y_k}{2}\bigr)}
Erdiko puntuaren metodoa.
xk+1=xk−6f(xk)f′(xk)+4f′(xk+yk2)+f′(yk)x_{k+1}=x_k-\frac{6f(x_k)}{f'(x_k)+4f'\bigl(\tfrac{x_k+y_k}{2}\bigr)+f'(y_k)}
Simpson-en metodoa.

Chebyshev-Halley familia

Ganbiltasun logaritmikoaren gradua erabiliz, Lf(xk)=f(xk)f′′(xk)f′(xk)2L_f(x_k)=\frac{f(x_k)f''(x_k)}{f'(x_k)^2}, bigarren deribatudun 3. ordenako metodoen familia uniparametriko bat eraikitzen da:

xk+1=xk−f(xk)f′(xk)[1+12 Lf(xk)1−βLf(xk)]x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\left[1+\frac{1}{2}\,\frac{L_f(x_k)}{1-\beta L_f(x_k)}\right]
Chebyshev-Halley familia, β\beta parametroa.
  • β=0\beta=0: Chebyshev-en metodoa, xk+1=xk−ff′[1+Lf2]x_{k+1}=x_k-\frac{f}{f'}\bigl[1+\frac{L_f}{2}\bigr].
  • β=12\beta=\tfrac12: Halley-ren metodoa, xk+1=xk−ff′[1+Lf2−Lf]x_{k+1}=x_k-\frac{f}{f'}\bigl[1+\frac{L_f}{2-L_f}\bigr].
  • β=1\beta=1: Super-Halley metodoa, xk+1=xk−ff′[1+Lf−22(Lf−1)]x_{k+1}=x_k-\frac{f}{f'}\bigl[1+\frac{L_f-2}{2(L_f-1)}\bigr].
  • β→∞\beta\to\infty: Newton-en metodoa berreskuratzen da.

Pisu-funtzioak: King, Ostrowski eta Jarratt

Hirugarren teknikak Traub-en bigarren pausoa H(μ)H(\mu) pisu-funtzio batez biderkatzen du, μ=f(yk)f(xk)\mu=\frac{f(y_k)}{f(x_k)} aldagaiarena:

yk=xk−f(xk)f′(xk)xk+1=yk−H(μk) f(yk)f′(xk)\begin{aligned} y_k&=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\\ x_{k+1}&=y_k-H(\mu_k)\,\frac{f(y_k)}{f'(x_k)} \end{aligned}

H(μ)=1+βμ1+(β−2)μH(\mu)=\frac{1+\beta\mu}{1+(\beta-2)\mu} aukeratuz (hiru baldintzak betetzen ditu β\beta guztietarako) King-en familia lortzen da, 4. ordenako optimoa:

xk+1=yk−f(xk)+βf(yk)f(xk)+(β−2)f(yk) f(yk)f′(xk)x_{k+1}=y_k-\frac{f(x_k)+\beta f(y_k)}{f(x_k)+(\beta-2)f(y_k)}\,\frac{f(y_k)}{f'(x_k)}
King-en familia. β=0\beta=0 hartuta Ostrowski-ren metodoa lortzen da.
yk=xk−23 f(xk)f′(xk)xk+1=xk−12(3f′(yk)+f′(xk)3f′(yk)−f′(xk))f(xk)f′(xk)\begin{aligned} y_k&=x_k-\frac{2}{3}\,\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}\\ x_{k+1}&=x_k-\frac{1}{2}\left(\frac{3f'(y_k)+f'(x_k)}{3f'(y_k)-f'(x_k)}\right)\frac{f(x_k)}{f'(x_k)} \end{aligned}
Jarratt-en metodoa, 4. ordenako optimoa hau ere (bi deribatu eta ff-ren ebaluazio bat).

Metodo hauen guztien benetako portaera proba-funtzioen gainean konparatiba numerikoan aztertzen da.