FrogapenaEDAertaina

Dedukzioa: Euler inplizitua

Nodo berriko deribatua atzeranzko diferentzia batez hurbiltzeak Euler-en metodo inplizitua eta pauso bakoitzean ebatzi beharreko ekuazio ez-lineala sortzen ditu.

Atzeranzko diferentzia nodo berrian

tₖtₖ₊₁h f(tₖ₊₁, yₖ₊₁)eskuineko laukizuzenaf(τ, y(τ))
Euler inplizituaren dedukzio integralak eskuineko muturreko balioa erabiltzen du: laukizuzenaren altuerak yk+1y_{k+1} ezezaguna dauka.
Handitu diagrama

Euler inplizituaren dedukzio integralak eskuineko muturreko balioa erabiltzen du: laukizuzenaren altuerak yk+1y_{k+1} ezezaguna dauka.

  1. Deribatua tkt_k-n aurrera begira hurbildu beharrean, tk+1t_{k+1}-en hurbiltzen dugu atzera begira, atzeranzko diferentziarekin:

    y′(tk+1)≈y(tk+1)−y(tk)hy'(t_{k+1})\approx\frac{y(t_{k+1})-y(t_k)}{h}

  2. Nodo berrian ebaluatutako ekuazio diferentzialean ordezkatzen dugu, y′(tk+1)=f(tk+1,y(tk+1))y'(t_{k+1})=f\bigl(t_{k+1},y(t_{k+1})\bigr), eta askatzen dugu:

    yk+1=yk+h f(tk+1,yk+1)y_{k+1}=y_k+h\,f(t_{k+1},y_{k+1})

  3. Eskema bera ateratzen da PVIaren forma integrala integratuz eta integrakizuna eskuineko muturreko balioaz hurbilduz (eskuineko laukizuzena), Euler esplizituaren dedukzioko 3. bidearen paralelo zehatzean.

  4. yk+1y_{k+1} ff-ren barruan agertzen denez, pauso bakoitzak ekuazio bat (orokorrean ez-lineala) ebaztea eskatzen du yk+1y_{k+1} ezezagunean, adibidez Newton-Raphson metodoarekin:

    g(yk+1)=yk+1−yk−h f(tk+1,yk+1)=0g(y_{k+1})=y_{k+1}-y_k-h\,f(t_{k+1},y_{k+1})=0