FrogapenaEDAaurreratua

Dedukzioa: pauso bateko Adams-Moulton (AM2)

AM2-ren eraikuntza osoa: nodo berria barne hartzen duen Lagrange interpolatzailea, aldagai-aldaketa, 1/2-1/2 pisu kalkulatuak, trapezio-erregelarekiko lotura eta errore lokala.

1. pausoa: forma integrala

tₖtₖ₊₁fₖfₖ₊₁interpolazioamalda berriayₖ₊₁-en araberakoahemen integratup₁(t)
AM2-k tarte berri osoa erabiltzen du: malda fkf_k eta fk+1f_{k+1} artean interpolatzen du, eta horregatik trapezio inplizituarekin bat dator.
Handitu diagrama

AM2-k tarte berri osoa erabiltzen du: malda fkf_k eta fk+1f_{k+1} artean interpolatzen du, eta horregatik trapezio inplizituarekin bat dator.

  1. y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)) PVI-tik abiatzen gara. Bi aldeak tkt_k eta tk+1t_{k+1} artean integratzen ditugu:

    ∫tktk+1y′(τ) dτ=∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  2. Kalkuluaren Oinarrizko Teoremaren arabera, ezkerreko aldea zehatza da. Hurbildu beharreko zati bakarra ff-ren integrala da:

    y(tk+1)=y(tk)+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  3. Formula numerikoan yk≈y(tk)y_k\approx y(t_k) eta yk+1≈y(tk+1)y_{k+1}\approx y(t_{k+1}) idazten dugu:

    yk+1=yk+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy_{k+1}=y_k+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

2. pausoa: f tarte berrian interpolatu

  1. AB2 ez bezala, AM2-k tkt_k eta tk+1t_{k+1} puntuetan interpolatzen du. Beraz fk=f(tk,yk)f_k=f(t_k,y_k) eta fk+1=f(tk+1,yk+1)f_{k+1}=f(t_{k+1},y_{k+1}) erabiltzen ditu:

    p1(τ)=fkLk(τ)+fk+1Lk+1(τ)p_1(\tau)=f_k L_k(\tau)+f_{k+1}L_{k+1}(\tau)

  2. Lagrangeren oinarri-funtzioak hauek dira:

    Lk(τ)=τ−tk+1tk−tk+1=tk+1−τh,Lk+1(τ)=τ−tktk+1−tk=τ−tkhL_k(\tau)=\frac{\tau-t_{k+1}}{t_k-t_{k+1}}=\frac{t_{k+1}-\tau}{h},\qquad L_{k+1}(\tau)=\frac{\tau-t_k}{t_{k+1}-t_k}=\frac{\tau-t_k}{h}

  3. Ordezkatuz, azpitarte barruko malda hurbiltzen duen zuzena geratzen da:

    p1(τ)=fk tk+1−τh+fk+1 τ−tkh=fk+1τ−tkh−fkτ−tk+1hp_1(\tau)=f_k\,\frac{t_{k+1}-\tau}{h}+f_{k+1}\,\frac{\tau-t_k}{h}=f_{k+1}\frac{\tau-t_k}{h}-f_k\frac{\tau-t_{k+1}}{h}

3. pausoa: aldagai-aldaketa eta integralak

  1. Integratzeko zure apunteetako aldaketa bera erabiltzen dugu: s=τ−tks=\tau-t_k. Orduan τ=tk+s\tau=t_k+s, dτ=dsd\tau=ds eta muturrak s=0s=0 eta s=hs=h dira.

    s=τ−tk,τ=tk+s,τ−tk+1=s−hs=\tau-t_k,\qquad \tau=t_k+s,\qquad \tau-t_{k+1}=s-h

  2. Aldaketa horrekin, interpolatzailea honela bihurtzen da:

    p1(tk+s)=fk+1sh−fks−hh=fk+1sh+fkh−shp_1(t_k+s)=f_{k+1}\frac{s}{h}-f_k\frac{s-h}{h}=f_{k+1}\frac{s}{h}+f_k\frac{h-s}{h}

  3. fk+1f_{k+1}-ren gaia integratzen dugu:

    ∫0hfk+1sh ds=fk+11h[s22]0h=h2fk+1\int_0^h f_{k+1}\frac{s}{h}\,ds=f_{k+1}\frac{1}{h}\left[\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}f_{k+1}

  4. fkf_k-ren gaia integratzen dugu:

    ∫0hfkh−sh ds=fk1h[hs−s22]0h=h2fk\int_0^h f_k\frac{h-s}{h}\,ds=f_k\frac{1}{h}\left[hs-\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}f_k

  5. Beraz, maldaren integrala bi pisu horien baturaz hurbiltzen da:

    ∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ≈∫tktk+1p1(τ) dτ=h2(fk+1+fk)\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau\approx \int_{t_k}^{t_{k+1}}p_1(\tau)\,d\tau=\frac{h}{2}\bigl(f_{k+1}+f_k\bigr)

  6. Forma integralean ordezkatuz AM2 lortzen da:

    yk+1=yk+h2(fk+1+fk)y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\bigl(f_{k+1}+f_k\bigr)

4. pausoa: zergatik den inplizitua

  1. Xehetasun gakoa da fk+1f_{k+1} oraindik kalkulatu gabe dagoela:

    fk+1=f(tk+1,yk+1)f_{k+1}=f(t_{k+1},y_{k+1})

  2. Beraz formula, benetan, yk+1y_{k+1} ezezagunarentzako ekuazio bat da:

    yk+1=yk+h2(f(tk+1,yk+1)+f(tk,yk))y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\Bigl(f(t_{k+1},y_{k+1})+f(t_k,y_k)\Bigr)

  3. Newton-ekin ebazten bada, komeni da R(z)R(z) hondarra definitzea, ff EDOaren funtziorako bakarrik utzita:

    R(z)=z−yk−h2(f(tk+1,z)+fk)R(z)=z-y_k-\frac{h}{2}\Bigl(f(t_{k+1},z)+f_k\Bigr)

  4. Newton-ek hurbilketa eguneratzen du R(z)R(z) ia zero izan arte:

    z(m+1)=z(m)−R(z(m))R′(z(m)),R′(z)=1−h2 fy(tk+1,z)z^{(m+1)}=z^{(m)}-\frac{R(z^{(m)})}{R'(z^{(m)})},\qquad R'(z)=1-\frac{h}{2}\,f_y(t_{k+1},z)

  5. Iragarle-zuzentzaile bikote batean, normalean yk+1y_{k+1} AB2-rekin iragartzen da eta iragarpen hori AM2 barruan erabiltzen da:

    yk+1(p)=yk+h2(3fk−fk−1),yk+1(c)=yk+h2(f(tk+1,yk+1(p))+fk)y_{k+1}^{(p)}=y_k+\frac{h}{2}(3f_k-f_{k-1}),\qquad y_{k+1}^{(c)}=y_k+\frac{h}{2}\Bigl(f(t_{k+1},y_{k+1}^{(p)})+f_k\Bigr)

5. pausoa: errorea eta trapezioarekiko lotura

Lortutako formula y′(t)y'(t) maldaren integralari aplikatutako trapezio-erregela da zehazki. Trapezioaren errore lokala hirugarren deribatuarekiko proportzionala denez, hau lortzen da

ek+1=−112h3y′′′(ξ)=O(h3)e_{k+1}=-\frac{1}{12}h^3y'''(\xi)=\mathcal{O}(h^3)
AM2-ren errore lokala; pausoak metatzean, errore globala 2. ordenakoa da.

Horregatik AM2-k AB2-ren ordena global bera du, baina errore-konstante txikiagoa. Hobekuntza ekuazio inplizitua ebatzearen edo zuzentzaile bat erabiltzearen truke lortzen da.