FrogapenaSistema ez-linealakertaina

Dedukzioa: Newton sistemetarako linealizazioz

Lehen ordenako Taylor garapen aldagai anitzekoak F linealizatzen du uneko iteratuaren inguruan; linealizazio hori anulatzeak Newton-en pausoa ematen du, jacobiarra deribatuaren paperean dela.

Linealizatu eta anulatu

  1. Matrize jacobiarrak funtzio koordenatuen lehen deribatu partzial guztiak biltzen ditu:

    F′(X)=[∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋮∂fn∂x1⋯∂fn∂xn]F'(X)=\begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \vdots & & \vdots\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n} \end{bmatrix}

  2. Uneko x(k)x^{(k)} iteratuaren inguruko lehen ordenako Taylor garapen aldagai anitzekoa dedukzio eskalarreko zuzen ukitzailearen bertsio bektoriala da:

    F(X)≈F(x(k))+F′(x(k))(X−x(k))F(X)\approx F\bigl(x^{(k)}\bigr)+F'\bigl(x^{(k)}\bigr)\bigl(X-x^{(k)}\bigr)

  3. Hurbilketa lineal hori anulatzen duen puntua bilatzen dugu (ukitzailearekin ardatza moztearen analogoa). Zerora berdinduz eta askatuz, zatiduraren ordez jacobiarraren alderantzizkoa erabilita:

    x(k+1)=x(k)−[F′(x(k))]−1F(x(k))x^{(k+1)}=x^{(k)}-\bigl[F'(x^{(k)})\bigr]^{-1}F\bigl(x^{(k)}\bigr)

Adibidea: F eta bere jacobiarra eraiki

Adibidea2×2 sistema bat

Idatzi F(X)=0F(X)=0 eran exey+xcos⁡y=0e^xe^y+x\cos y=0, x+y=1x+y=1 sistema, eta kalkulatu bere matrize jacobiarra.

  1. Dena ezkerreko aldera pasatzen da:

    F(X)=[exey+xcos⁡yx+y−1]=[00]F(X)=\begin{bmatrix} e^xe^y+x\cos y\\ x+y-1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}

  2. Osagai bakoitza aldagai bakoitzarekiko deribatuz:

    F′(X)=[exey+cos⁡yexey−xsin⁡y11]F'(X)=\begin{bmatrix} e^xe^y+\cos y & e^xe^y-x\sin y\\ 1 & 1 \end{bmatrix}

Sistema hau Newton-ekin ebazten da ariketa ebatzian. Erreparatu x+y=1x+y=1 murrizketaren gainean exey=ex+y=ee^xe^y=e^{x+y}=e betetzen dela: soluzioan, xcos⁡(1−x)=−ex\cos(1-x)=-e.