FrogapenaIntegrazioaaurreratua

Frogapena: bi puntuko Gauss-Legendre

Nola ezarri 3. gradurainoko zehaztasuna [−1,1][-1,1] tartean ±1/3\pm 1/\sqrt3 nodoak eta 1 pisuak lortzeko.

Zehaztasuna 1, x, x² eta x³-rako

  1. [−1,1][-1,1] tartean −r-r eta rr nodoak eta cc pisu berdinak dituen erregela simetrikoa bilatzen dugu, tartea eta w(x)=1w(x)=1 pisua simetrikoak direlako.

    ∫−11f(x)dx≈cf(−r)+cf(r)\int_{-1}^{1}f(x)dx\approx c f(-r)+c f(r)

  2. f(x)=1f(x)=1-erako zehaztasuna eskatzen dugu:

    2=2c⟹c=12=2c\quad\Longrightarrow\quad c=1

  3. xx eta x3x^3 funtzio bakoitiak automatikoki betetzen dira simetriagatik. f(x)=x2f(x)=x^2-rako zehaztasuna eskatzen dugu:

    ∫−11x2dx=23=r2+r2=2r2\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}=r^2+r^2=2r^2

  4. r askatuz bi puntuko erregela agertzen da:

    r=13,∫−11f(x)dx≈f ⁣(−13)+f ⁣(13)r=\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad \int_{-1}^{1}f(x)dx\approx f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)