FrogapenaInterpolazioaertaina

Frogapena: Lagrangeren oinarri-funtzioak

Nola nodo batean 1 eta gainerakoetan 0 balio izateko eskakizunak LiL_i funtzioen biderkadura-forma behartzen duen.

Propietate kardinaletik formulara

  1. Li(x)L_i(x) nahi dugu xix_i izan ezik nodo guztietan 0 balio duena. xjx_j-n (j≠ij\ne i) anulatzeko, (x−xj)(x-x_j) faktorea sartzea nahikoa da bakoitzeko:

    numerador=∏j=0j≠in(x−xj)\text{numerador}=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}(x-x_j)

  2. Biderkadura horrek zerbait balio du (ez 1) xix_i-n. 1era normalizatzeko, xix_i-ko bere balioaz zatitzen dugu, hau da, han ebaluatutako biderkadura bera:

    Li(x)=∏j=0j≠inx−xjxi−xjL_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}

  3. Horrela Li(xi)=1L_i(x_i)=1 eta Li(xj)=0L_i(x_j)=0. ∑iLi(x) f(xi)\sum_i L_i(x)\,f(x_i) konbinazioak datu bakoitza berregiten du, beraz interpolatzen du.