FrogapenaSistema linealakertaina

Frogapena: Jacobiren iterazio-matrizea

Ezezagun bakoitza bere ekuaziotik askatzetik x=−D⁻¹(L+U)x+D⁻¹b forma matrizialera.

Askatu eta matrizetan antolatu

  1. ii ekuazio bakoitzean xix_i askatzen dugu (posible aii≠0a_{ii}\ne 0 delako):

    xi=1aii(bi−∑j≠iaijxj)x_i=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j\right)

  2. Hau errenkada guztietarako idatziz eta D diagonala L eta U zatietatik bereiziz, forma matriziala agertzen da:

    x=D−1(b−(L+U)x)=−D−1(L+U)x+D−1bx=D^{-1}\bigl(b-(L+U)x\bigr)=-D^{-1}(L+U)x+D^{-1}b

  3. Iterazio bihurtuta, Jacobiren eskema da hain zuzen, H_J=−D⁻¹(L+U) iterazio-matrizearekin:

    x(k+1)=−D−1(L+U)x(k)+D−1bx^{(k+1)}=-D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b