FrogapenaInterpolazioaertaina

Frogapena: Newtonen koefizienteak diferentzia zatituen bidez

Nondik ateratzen diren b0b_0 eta b1b_1 polinomioa puntuetatik pasatzera behartzean, eta nola errekurtsioak ordena altuagoko koefiziente guztiak sortzen dituen.

Bi puntutatik pasatzera behartu

  1. p1(x)=b0+b1(x−x0)p_1(x)=b_0+b_1(x-x_0) forma linealetik abiatzen gara eta (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) eta (x1,f(x1))(x_1,f(x_1))-tik pasatzera behartzen dugu:

    {p1(x0)=f(x0)=b0p1(x1)=f(x1)=b0+b1(x1−x0)\begin{cases} p_1(x_0)=f(x_0)=b_0\\ p_1(x_1)=f(x_1)=b_0+b_1(x_1-x_0) \end{cases}

  2. Lehen ekuaziotik b0=f(x0)b_0=f(x_0). Bigarrenean ordezkatuz eta b1b_1 askatuz:

    b1=f(x1)−f(x0)x1−x0=f[x1,x0]b_1=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=f[x_1,x_0]

b1b_1-i lehen ordenako diferentzia zatitua deitzen zaio. Argudio bera hiru punturekin errepikatzeak bigarren ordenako diferentzia ematen du, eta horrela errekurtsio orokorrera iristen da.

f[xn,…,x0]=f[xn,…,x1]−f[xn−1,…,x0]xn−x0f[x_n,\dots,x_0]=\frac{f[x_n,\dots,x_1]-f[x_{n-1},\dots,x_0]}{x_n-x_0}