FrogapenaEkuazio ez-linealakaurreratua

Dedukzioa: puntu finkoaren konbergentzia eta ordena

$\phi$ Taylor bidez puntu finkoaren inguruan garatzeak metodoaren errore-ekuazioa sortzen du eta aldi berean $|\phi'(\alpha)|<1$ irizpidea eta ordenaren teorema frogatzen ditu.

φ-ren Taylor puntu finkoaren inguruan

Izan bedi $e_k=x_k-\alpha$ . $\phi(x_k)$ Taylor bidez garatzen dugu $\alpha$ -ren inguruan eta $\phi(\alpha)=\alpha$ dela erabiltzen dugu:
$x_{k+1}=\phi(x_k)=\alpha+\phi'(\alpha)\,e_k+\frac{\phi''(\alpha)}{2}\,e_k^2+\frac{\phi'''(\alpha)}{6}\,e_k^3+\cdots$
$\alpha$ kenduta, puntu finkoko iterazioaren errore-ekuazioa geratzen da:
$e_{k+1}=\phi'(\alpha)\,e_k+\frac{\phi''(\alpha)}{2}\,e_k^2+\frac{\phi'''(\alpha)}{6}\,e_k^3+\cdots$
$\phi'(\alpha)\ne 0$ bada, gai nagusia lineala da: $e_{k+1}\approx\phi'(\alpha)e_k$ . Erroreak uzkurtu egiten dira $|\phi'(\alpha)|<1$ bada (konbergentzia lineala, $|\phi'(\alpha)|$ faktorearekin) eta hazi $|\phi'(\alpha)|>1$ bada: horixe da konbergentzia lokalaren irizpidea.
Gainera $\phi'(\alpha)=\phi''(\alpha)=\dots=\phi^{(p-1)}(\alpha)=0$ eta $\phi^{(p)}(\alpha)\ne 0$ badira, aurreko gai guztiak desagertzen dira eta bizirik dirauen lehenak ordena finkatzen du: puntu finkoko metodo baten ordenaren teorema da, hain zuzen.
$e_{k+1}=\frac{\phi^{(p)}(\alpha)}{p!}\,e_k^p+\mathcal{O}\bigl(e_k^{p+1}\bigr)$
Berehalako aplikazioa: Newton-entzat, $\phi=x-\frac{f}{f'}$ eta $\phi'=\frac{f f''}{(f')^2}$ , erro sinple batean anulatzen dena ( $f(\alpha)=0$ ). Orokorrean $\phi''(\alpha)\ne 0$ denez, Newton-ek 2. ordena du, frogapen zuzenarekin bat etorriz.