FrogapenaIntegrazioaertaina

Frogapena: trapezioaren erregela

[a,b] tartean Lagrangeren interpolatzaile lineala integratzea, trapezioaren erregela eta interpretazio geometrikoa lortzeko.

Zuzen interpolatzailea integratu

∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx hurbildu nahi dugu funtzioaren muturretako balioak bakarrik erabiliz. Ideia kurba (a,f(a))(a,f(a)) eta (b,f(b))(b,f(b)) puntuetatik pasatzen den zuzenaz ordezkatzea da, eta zuzen hori integratzea.

abf(a)f(b)zuzen interpolatzaileaf funtzioahurbildutako azalera
Kurba zuzen interpolatzaileaz ordezkatzen da. Zuzen horren azpiko azalera da trapezio bidezko hurbilketa.
Handitu diagrama

Kurba zuzen interpolatzaileaz ordezkatzen da. Zuzen horren azpiko azalera da trapezio bidezko hurbilketa.

Dedukzioa Lagrangerekin

  1. x0=ax_0=a eta x1=bx_1=b muturreko nodoak hartzen ditugu, h=b−ah=b-a izanik. Lagrangeren oinarri linealak 1 balio du bere nodoan eta 0 bestean:

    L0(x)=x−ba−b,L1(x)=x−ab−aL_0(x)=\frac{x-b}{a-b},\qquad L_1(x)=\frac{x-a}{b-a}

  2. Interpolatzaile lineala balio ezagunen konbinazio gisa geratzen da:

    p1(x)=f(a)L0(x)+f(b)L1(x)p_1(x)=f(a)L_0(x)+f(b)L_1(x)

  3. ff-ren integrala p1p_1-en integralaz hurbiltzen dugu. Formularen pisuak oinarrien integralak dira:

    I≈f(a)∫abL0(x) dx+f(b)∫abL1(x) dxI\approx f(a)\int_a^b L_0(x)\,dx+f(b)\int_a^b L_1(x)\,dx

  4. Lehen pisua kalkulatzeko s=x−as=x-a aldaketa egiten dugu. Orduan x−b=s−hx-b=s-h, a−b=−ha-b=-h, dx=dsdx=ds eta mugak x=a,bx=a,b-tik s=0,hs=0,h-ra pasatzen dira:

    ∫abL0(x) dx=∫abx−ba−b dx=∫0hh−sh ds=1h[hs−s22]0h=h2\begin{aligned}\int_a^b L_0(x)\,dx&=\int_a^b\frac{x-b}{a-b}\,dx\\&=\int_0^h\frac{h-s}{h}\,ds\\&=\frac{1}{h}\left[hs-\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}\end{aligned}

  5. Bigarren pisua aldaketa berarekin kalkulatzen dugu. Orain x−a=sx-a=s eta b−a=hb-a=h dira:

    ∫abL1(x) dx=∫abx−ab−a dx=∫0hsh ds=1h[s22]0h=h2\begin{aligned}\int_a^b L_1(x)\,dx&=\int_a^b\frac{x-a}{b-a}\,dx\\&=\int_0^h\frac{s}{h}\,ds=\frac{1}{h}\left[\frac{s^2}{2}\right]_0^h=\frac{h}{2}\end{aligned}

  6. Bi pisuak h/2h/2 dira. Koadratura-formulan ordezkatzean trapezio sinplearen erregela agertzen da:

    ∫abf(x) dx≈h2[f(a)+f(b)]\int_a^b f(x)\,dx\approx\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]
ab1L₀(x)h/2 azaleraab1L₁(x)h/2 azalera
Lagrangeren oinarri bakoitzak h/2h/2 azalera du [a,b][a,b] tartean. Horregatik bi muturrek pisu bera jasotzen dute.
Handitu diagrama

Lagrangeren oinarri bakoitzak h/2h/2 azalera du [a,b][a,b] tartean. Horregatik bi muturrek pisu bera jasotzen dute.

Irakurketa geometrikoa

  1. p1p_1-en integrala zuzen baten azpiko azalera da. Eskualde hori h=b−ah=b-a oinarriko trapezioa da, eta altuera paraleloak f(a)f(a) eta f(b)f(b) dira.

    Atrapecio=base2(altura1+altura2)A_{\text{trapecio}}=\frac{\text{base}}{2}\left(\text{altura}_1+\text{altura}_2\right)

  2. Oinarria eta altuerak identifikatzean Lagrangerekin lortutako adierazpen bera ateratzen da:

    Atrapecio=b−a2[f(a)+f(b)]A_{\text{trapecio}}=\frac{b-a}{2}\left[f(a)+f(b)\right]
aboinarria h=b-af(a)f(b)A = h(f(a)+f(b))/2
Formula trapezio baten azalerarekin bat dator: oinarria bider bi altueren batezbestekoa.
Handitu diagrama

Formula trapezio baten azalerarekin bat dator: oinarria bider bi altueren batezbestekoa.

Errore-gaia

  1. f∈C2[a,b]f\in\mathcal{C}^2[a,b] bada, puntu bakoitzeko interpolazio linealaren erroreak forma hau du:

    f(x)−p1(x)=f′′(ξx)2(x−a)(x−b)f(x)-p_1(x)=\frac{f''(\xi_x)}{2}(x-a)(x-b)

  2. f′′f'' biderkatzen duen produktua integratzen dugu. s=x−as=x-a hartuta, (x−a)(x−b)=s(s−h)(x-a)(x-b)=s(s-h) geratzen da:

    ∫ab(x−a)(x−b) dx=∫0hs(s−h) ds=−h36\int_a^b(x-a)(x-b)\,dx=\int_0^h s(s-h)\,ds=-\frac{h^3}{6}

  3. Integraletarako batez besteko balioaren teoremaren arabera, badago ξ∈(a,b)\xi\in(a,b) non:

    ∫abf(x) dx−h2[f(a)+f(b)]=−h312f′′(ξ)\int_a^b f(x)\,dx-\frac{h}{2}\left[f(a)+f(b)\right]=-\frac{h^3}{12}f''(\xi)

  4. Erregelak 2. ordena lokala du: errorea ff-ren kurbaduraren araberakoa da eta tarte bakarrean (b−a)3(b-a)^3 bezala hazten da.