FrogapenaEDAaurreratua

Dedukzioa: Heun-en metodoa

Heun-en dedukzio osoa: bigarren ordenarainoko Taylor-en garapenaren bidez, f-ren bi aldagaiko Taylor-ekin konbinatuta, eta trapezio-erregelaren bidez Euler-en iragarpenarekin.

1. bidea: Taylor bigarren ordenaraino

  1. Soluzioa Taylor bidez garatzen dugu Euler-en baino ordena bat urrunago:

    y(t+h)=y(t)+h y′(t)+h22y′′(t)+O(h3)y(t+h)=y(t)+h\,y'(t)+\frac{h^2}{2}y''(t)+\mathcal{O}(h^3)

  2. y′′y'' behar dugu. y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)) kate-erregelarekin deribatuz:

    y′′(t)=∂f∂t(t,y)+∂f∂y(t,y) y′(t)=ft+fy fy''(t)=\frac{\partial f}{\partial t}(t,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(t,y)\,y'(t)=f_t+f_y\,f

  3. y′=fy'=f eta y′′=ft+fyfy''=f_t+f_y f garapenean ordezkatuz eta erdi bana taldekatuz:

    y(t+h)=y(t)+h2f+h2(f+h ft+h f fy)+O(h3)y(t+h)=y(t)+\frac{h}{2}f+\frac{h}{2}\Bigl(f+h\,f_t+h\,f\,f_y\Bigr)+\mathcal{O}(h^3)

  4. Parentesia ff-ren bi aldagaiko Taylor-en garapen batekin bat dator. Oro har, f(t+h, y+k)=f+h ft+k fy+⋯f(t+h,\,y+k)=f+h\,f_t+k\,f_y+\cdots; inkrementua k=h f(t,y)k=h\,f(t,y) aukeratuz:

    f(t+h, y+hf(t,y))=f+h ft+h f fy+O(h2)f\bigl(t+h,\,y+h f(t,y)\bigr)=f+h\,f_t+h\,f\,f_y+\mathcal{O}(h^2)

  5. Parentesia ebaluazio horrekin ordezkatuz (h⋅O(h2)h\cdot\mathcal{O}(h^2) errorea O(h3)\mathcal{O}(h^3)-n xurgatzen da):

    y(t+h)=y(t)+h2f(t,y)+h2f(t+h, y+hf(t,y))+O(h3)y(t+h)=y(t)+\frac{h}{2}f(t,y)+\frac{h}{2}f\bigl(t+h,\,y+h f(t,y)\bigr)+\mathcal{O}(h^3)

  6. t=tkt=t_k-n ebaluatuz, yk≈y(tk)y_k\approx y(t_k) izanik, eta O(h3)\mathcal{O}(h^3) baztertuz Heun-en metodoa geratzen da, errore lokala O(h3)\mathcal{O}(h^3) eta beraz globala O(h2)\mathcal{O}(h^2) dituela:

    yk+1=yk+12hf(tk,yk)⏟k1+12hf(tk+1, yk+k1)⏟k2y_{k+1}=y_k+\frac{1}{2}\underbrace{h f(t_k,y_k)}_{k_1}+\frac{1}{2}\underbrace{h f(t_{k+1},\,y_k+k_1)}_{k_2}

2. bidea: trapezioa Euler-en iragarpenarekin

tₖtₖ₊₁ỹₖ₊₁iragarritako puntuamalden batez bestekoa
Heun-ek pausoa malden integraleko trapezio gisa interpretatzen du: malda bat ezaguna da eta bestea Euler-en iragarpenarekin lortzen da.
Handitu diagrama

Heun-ek pausoa malden integraleko trapezio gisa interpretatzen du: malda bat ezaguna da eta bestea Euler-en iragarpenarekin lortzen da.

  1. Azpitarte bateko PVIaren forma integral zehatzetik abiatzen gara:

    y(tk+1)=y(tk)+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  2. Integral hori trapezio-erregelarekin hurbiltzen dugu:

    y(tk+1)≈yk+h2(f(tk,yk)+f(tk+1,y(tk+1)))y(t_{k+1})\approx y_k+\frac{h}{2}\Bigl(f(t_k,y_k)+f\bigl(t_{k+1},y(t_{k+1})\bigr)\Bigr)

  3. Eskuineko y(tk+1)y(t_{k+1}) balioa ezezaguna da. Ekuazio inplizitua ebatzi beharrean (hori AM2, trapezio inplizitua litzateke), Euler-en pauso batekin iragartzen dugu:

    yˉk+1=yk+h f(tk,yk)\bar y_{k+1}=y_k+h\,f(t_k,y_k)

  4. Iragarpena trapezioan ordezkatuz Taylor bidez lortutako formula bera ateratzen da: Heun urrats bakarreko iragarle-zuzentzaile bikote bat da.

    yk+1=yk+h2(f(tk,yk)+f(tk+1,yˉk+1))y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\Bigl(f(t_k,y_k)+f(t_{k+1},\bar y_{k+1})\Bigr)