FrogapenaDeribazioaaurreratua

Frogapena: hiru puntuko progresiboa O(h²)

Nola konbinatu bi Taylor-garapen bigarren deribatua ezabatzeko eta lehen deribatuaren 2. ordenako diferentzia progresiboa lortzeko.

Bi garapen konbinatu

  1. Taylor garatzen dugu xi+1x_{i+1} eta xi+2x_{i+2}-n xix_i-ren inguruan:

    f(xi+1)=f(xi)+hf′(xi)+h22f′′(xi)+R2f(xi+2)=f(xi)+2hf′(xi)+2h2f′′(xi)+R2\begin{aligned} f(x_{i+1})&=f(x_i)+hf'(x_i)+\tfrac{h^2}{2}f''(x_i)+R_2\\ f(x_{i+2})&=f(x_i)+2hf'(x_i)+2h^2 f''(x_i)+R_2 \end{aligned}

  2. (bigarrena)−2⋅(lehena)(\text{bigarrena})-2\cdot(\text{lehena}) egiten dugu f′f' ezabatzeko; f′′f'' askatuz bigarren deribatuaren O(h)\mathcal{O}(h) formula lortzen dugu:

    f′′(xi)=fi+2−2fi+1+fih2+O(h)f''(x_i)=\frac{f_{i+2}-2f_{i+1}+f_i}{h^2}+\mathcal{O}(h)

  3. f′′f'' hau lehen garapenean ordezkatuz eta f′f' askatuz hh ordenako terminoa ezabatzen da eta hau geratzen da:

    f′(xi)=−fi+2+4fi+1−3fi2h+O(h2)f'(x_i)=\frac{-f_{i+2}+4f_{i+1}-3f_i}{2h}+\mathcal{O}(h^2)