FrogapenaEDAertaina

Dedukzioa: Euler-en metodoa eta bere ordena

Hiru bide independentek Euler-en formulara eramaten dute (Taylor, zatidura inkrementala eta integrazioa), eta Taylor-en hondarraren analisiak metodoa 1. ordenakoa dela frogatzen du.

1. bidea: Taylor-en garapena

tₖtₖ₊₁yₖyₖ₊₁uneko malday(t)
Lehen ordenako Taylor-en irakurketa geometrikoa: gai lineala bakarrik gordetzea ukitzailetik aurrera egitea da.
Handitu diagrama

Lehen ordenako Taylor-en irakurketa geometrikoa: gai lineala bakarrik gordetzea ukitzailetik aurrera egitea da.

  1. yy soluzioa Taylor bidez garatzen dugu tt-ren inguruan, hondarra Lagrange eran idatzita (ξ\xi, tt eta t+ht+h artean):

    y(t+h)=y(t)+h y′(t)+h22y′′(ξ)y(t+h)=y(t)+h\,y'(t)+\frac{h^2}{2}y''(\xi)

  2. Ekuazio diferentzialak deribatua ematen digu: y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)). Ordezkatuz:

    y(t+h)=y(t)+h f(t,y(t))+h22y′′(ξ)y(t+h)=y(t)+h\,f(t,y(t))+\frac{h^2}{2}y''(\xi)

  3. Hondarra h22y′′(ξ)\frac{h^2}{2}y''(\xi) baztertzen dugu (2. ordenako edo handiagoko gaiak) eta nodoetan ebaluatzen dugu, t=tkt=t_k eta yk≈y(tk)y_k\approx y(t_k) izanik: Euler-en eskema geratzen da.

    yk+1=yk+h f(tk,yk)y_{k+1}=y_k+h\,f(t_k,y_k)

2. bidea: zatidura inkrementala

  1. Deribatua zatidura inkrementalaren limitea da; hh txikirako, zatidura horrek hurbiltzen du. Lehen ordenako aurreranzko diferentzia da, hain zuzen:

    y′(t)=lim⁡h→0y(t+h)−y(t)h  ⇒  y′(t)≈y(t+h)−y(t)hy'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\;\Rightarrow\; y'(t)\approx\frac{y(t+h)-y(t)}{h}

  2. Hurbilketa y′=f(t,y)y'=f(t,y) ekuazioan ordezkatuz eta y(t+h)y(t+h) askatuz, formula bera berreskuratzen da:

    y(t+h)−y(t)h≈f(t,y)  ⇒  y(t+h)≈y(t)+h f(t,y)\frac{y(t+h)-y(t)}{h}\approx f(t,y)\;\Rightarrow\; y(t+h)\approx y(t)+h\,f(t,y)

3. bidea: integrazioa

tₖtₖ₊₁h f(tₖ, yₖ)ezkerreko laukizuzenaf(τ, y(τ))
Forma integralean, Euler esplizituak f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) azpiko azalera ezkerreko altuerako f(tk,yk)f(t_k,y_k) laukizuzen batez hurbiltzen du.
Handitu diagrama

Forma integralean, Euler esplizituak f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) azpiko azalera ezkerreko altuerako f(tk,yk)f(t_k,y_k) laukizuzen batez hurbiltzen du.

  1. Kalkuluaren Oinarrizko Teorema erabili aurretik, EDOa τ\tau aldagai mutuarekin idatzi eta bi aldeak [tk,tk+1][t_k,t_{k+1}] tartean integratzen ditugu:

    ∫tktk+1y′(τ) dτ=∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  2. Orain Kalkuluaren Oinarrizko Teoremak y′y'-ren integrala soluzioaren diferentzia zehatz bihurtzen du:

    y(tk+1)=y(tk)+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  3. Integrakizuna ezkerreko muturreko balioaz hurbiltzen dugu. Hau da, p0(τ)=f(tk,y(tk))p_0(\tau)=f(t_k,y(t_k)) polinomio konstantearekin interpolatzen dugu eta hh oinarriko laukizuzen hori integratzen dugu:

    ∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ  ≈  (tk+1−tk) f(tk,y(tk))=h f(tk,y(tk))\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau\;\approx\;(t_{k+1}-t_k)\,f(t_k,y(t_k))=h\,f(t_k,y(t_k))

  4. Berdintza integralean ordezkatuz Euler-en eskema agertzen da berriro. Integrakizuna gradu handiagoko polinomioekin hurbiltzeak, bide beretik, Heun (trapezioa), RK4 (Simpson) eta Adams metodoak sortzen ditu.

Errore lokala, errore globala eta ordena

  1. Pauso baten errore lokala 1. bidean baztertutako Taylor-en hondarra da, hain zuzen (ξk∈ ]tk,tk+1[\xi_k\in\,]t_k,t_{k+1}[):

    ek+1=y(tk+1)−(y(tk)+h y′(tk))=h22y′′(ξk)=O(h2)e_{k+1}=y(t_{k+1})-\bigl(y(t_k)+h\,y'(t_k)\bigr)=\frac{h^2}{2}y''(\xi_k)=\mathcal{O}(h^2)

  2. Errore globalerako NN errore lokalak batzen ditugu. y′′y'' jarraitua denez, tarteko balioaren teoremak batura puntu bakar batean biltzea ahalbidetzen du, ξ∈[a,b]\xi\in[a,b]:

    ∑k=0N−1h22y′′(ξk)=h22N y′′(ξ)\sum_{k=0}^{N-1}\frac{h^2}{2}y''(\xi_k)=\frac{h^2}{2}N\,y''(\xi)

  3. N=b−ahN=\frac{b-a}{h} izanik, hh-ren potentzia bat ezabatzen da eta 1. ordenako errore globala geratzen da: Euler-en metodoa 1. ordenakoa da.

    h22 b−ah y′′(ξ)=b−a2 y′′(ξ) h=O(h)\frac{h^2}{2}\,\frac{b-a}{h}\,y''(\xi)=\frac{b-a}{2}\,y''(\xi)\,h=\mathcal{O}(h)