FrogapenaEDAaurreratua

Dedukzioa: 2 pausoko Adams-Bashforth (AB2)

AB2-ren eraikuntza osoa: PVIaren forma integrala, f-ren Lagrange interpolatzailea aurreko bi nodoetan, aldagai-aldaketa, integralak gaiez gai kalkulatuta, errore lokala eta AB3 eta AB4-rako orokortzea.

1. pausoa: forma integrala

tₖ₋₁tₖtₖ₊₁fₖ₋₁fₖmalda ezagunakestrapolazioahemen integratup₁(t)
Lagrange-ren zuzena dagoeneko kalkulatutako maldekin eraikitzen da eta gero nodoetatik kanpo erabiltzen da: horregatik Adams-Bashforth esplizitua eta estrapolatzailea da.
Handitu diagrama

Lagrange-ren zuzena dagoeneko kalkulatutako maldekin eraikitzen da eta gero nodoetatik kanpo erabiltzen da: horregatik Adams-Bashforth esplizitua eta estrapolatzailea da.

  1. y′(t)=f(t,y(t))y'(t)=f(t,y(t)) PVI-tik abiatzen gara. Bi aldeak tkt_k eta tk+1t_{k+1} artean integratzen ditugu:

    ∫tktk+1y′(τ) dτ=∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ\int_{t_k}^{t_{k+1}} y'(\tau)\,d\tau=\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  2. Ezkerreko aldeari Kalkuluaren Oinarrizko Teorema aplikatuz forma integral zehatza lortzen da. Oraindik ez dago hurbilketarik:

    y(tk+1)=y(tk)+∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτy(t_{k+1})=y(t_k)+\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau

  3. Integrakizun osoa ezezaguna da soluzio zehatzaren araberakoa delako, baina aurreko nodoetako balio hurbilduak ezagunak dira: fk−1=f(tk−1,yk−1)f_{k-1}=f(t_{k-1},y_{k-1}) eta fk=f(tk,yk)f_k=f(t_k,y_k). AB2 f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) bi datu horiekin hurbiltzetik sortzen da.

2. pausoa: f Lagrangerekin interpolatu

  1. fk−1f_{k-1} eta fkf_k balioak interpolatzen dituen 1. graduko polinomioa eraikitzen dugu, Lagrange oinarria erabiliz. tk−tk−1=ht_k-t_{k-1}=h eta tk−1−tk=−ht_{k-1}-t_k=-h direnez, oinarriak honela geratzen dira:

    Lk−1(τ)=τ−tktk−1−tk=tk−τh,Lk(τ)=τ−tk−1tk−tk−1=τ−tk−1hL_{k-1}(\tau)=\frac{\tau-t_k}{t_{k-1}-t_k}=\frac{t_k-\tau}{h},\qquad L_k(\tau)=\frac{\tau-t_{k-1}}{t_k-t_{k-1}}=\frac{\tau-t_{k-1}}{h}

  2. Lagrange interpolatzailea balioen eta oinarrien konbinazioa da. Bi nodoetan malda ezagunekin bat datorren zuzena da:

    p1(τ)=fk−1 tk−τh+fk τ−tk−1h=fk τ−tk−1h−fk−1 τ−tkhp_1(\tau)=f_{k-1}\,\frac{t_k-\tau}{h}+f_k\,\frac{\tau-t_{k-1}}{h}=f_k\,\frac{\tau-t_{k-1}}{h}-f_{k-1}\,\frac{\tau-t_k}{h}

  3. Interpolazio-nodoak tk−1t_{k-1} eta tkt_k dira, baina integrazio-tartea [tk, tk+1][t_k,\,t_{k+1}] da. Polinomioa bere nodoetatik kanpo estrapolatzean, metodoa esplizitua da.

3. pausoa: aldagai-aldaketa eta integrazioa

  1. Integratzeko, apunteetako aldaketa egiten dugu: s=τ−tks=\tau-t_k, hau da, τ=tk+s\tau=t_k+s eta dτ=dsd\tau=ds. τ=tk\tau=t_k denean, s=0s=0; τ=tk+1\tau=t_{k+1} denean, s=hs=h. Gainera:

    τ−tk−1=s+h,τ−tk=s\tau-t_{k-1}=s+h,\qquad \tau-t_k=s

  2. Integralean f(τ,y(τ))f(\tau,y(\tau)) interpolatzaileaz, p1p_1-ez, ordezkatzen dugu. Aurreko aldaketarekin, zuzena honela idazten da:

    p1(tk+s)=fk s+hh−fk−1 shp_1(t_k+s)=f_k\,\frac{s+h}{h}-f_{k-1}\,\frac{s}{h}

  3. Bi zatiak bereiz integratzen ditugu. fkf_k-ren zatiak 3h2\frac{3h}{2} ematen du, eta fk−1f_{k-1}-ren zatiak h2\frac{h}{2}, zeinu negatiboarekin:

    ∫0hfks+hh ds=fk1h[s22+hs]0h=3h2fk∫0hfk−1sh ds=fk−11h[s22]0h=h2fk−1\begin{aligned} \int_0^h f_k\frac{s+h}{h}\,ds&=f_k\frac{1}{h}\Bigl[\frac{s^2}{2}+hs\Bigr]_0^h=\frac{3h}{2}f_k\\ \int_0^h f_{k-1}\frac{s}{h}\,ds&=f_{k-1}\frac{1}{h}\Bigl[\frac{s^2}{2}\Bigr]_0^h=\frac{h}{2}f_{k-1} \end{aligned}

  4. Beraz, pauso berriko integral hurbildua hau da:

    ∫tktk+1f(τ,y(τ)) dτ≈∫tktk+1p1(τ) dτ=h2(3fk−fk−1)\int_{t_k}^{t_{k+1}} f\bigl(\tau,y(\tau)\bigr)\,d\tau\approx\int_{t_k}^{t_{k+1}} p_1(\tau)\,d\tau=\frac{h}{2}\bigl(3f_k-f_{k-1}\bigr)

  5. Forma integral zehatzean ordezkatuz eta y(tk)≈yky(t_k)\approx y_k erabiliz, bi pausoko Adams-Bashforth formula agertzen da:

    yk+1=yk+h2(3fk−fk−1)y_{k+1}=y_k+\frac{h}{2}\bigl(3f_k-f_{k-1}\bigr)

4. pausoa: errorea eta ordena

  1. Errore lokala p1p_1-en interpolazio-errorearen integrala da. Interpolatzaile linealerako, f(τ)−p1(τ)=f′′(ξ)2(τ−tk−1)(τ−tk)f(\tau)-p_1(\tau)=\frac{f''(\xi)}{2}(\tau-t_{k-1})(\tau-t_k); aldagai-aldaketarekin, (τ−tk−1)(τ−tk)=h2 s(s+1)(\tau-t_{k-1})(\tau-t_k)=h^2\,s(s+1) eta ∫01s(s+1) ds=56\int_0^1 s(s+1)\,ds=\frac{5}{6}:

    ek+1=h⋅y′′′(ξ)2⋅h2⋅56=512 h3 y′′′(ξ)=O(h3)e_{k+1}=h\cdot\frac{y'''(\xi)}{2}\cdot h^2\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{12}\,h^3\,y'''(\xi)=\mathcal{O}(h^3)

  2. Beti bezala, errore globalak potentzia bat galtzen du N∝1/hN\propto 1/h pauso metatzean: AB2 2. ordenakoa da, Heun bezala, baina pauso bakoitzeko ff-ren ebaluazio berri bakarrarekin. Ordenaren estimazio numerikoak baieztatzen du.

AB2-tik AB3 eta AB4-ra

Errezeta bera nodo gehiagorekin familia osoa sortzen du: ff interpolatzea tk,tk−1,tk−2t_k,t_{k-1},t_{k-2}-n polinomio koadratiko batekin eta 3-4 pausoak errepikatzea AB3 da (∫01(s+1)(s+2)2ds=2312\int_0^1\frac{(s+1)(s+2)}{2}ds=\frac{23}{12} bezalako integralekin); lau nodorekin eta kubiko batekin AB4 ateratzen da. Nodo gehigarri bakoitzak interpolatzailearen gradua igotzen du eta, harekin, metodoaren ordena.