FrogapenaIntegrazioaertaina

Frogapena: trapezio konposatua

n azpitartetan trapezio sinpleak batuz 1,2,...,2,1 pisuetara eta errore globalera iristea.

Trapezio sinpleak batu

zabalera hx₀x₁x₂x₃xₙbarruko nodoak: 2 pisua
Azpitarte bakoitzak trapezio bat ematen du. Barruko nodoak bi aldiz zenbatzen dira.
Handitu diagrama

Azpitarte bakoitzak trapezio bat ematen du. Barruko nodoak bi aldiz zenbatzen dira.

n azpitartetarako formula

  1. [a,b][a,b] n azpitarte berdinetan zatitzen dugu:

    xi=a+ih,h=b−an,i=0,…,nx_i=a+ih,\qquad h=\frac{b-a}{n},\qquad i=0,\ldots,n

  2. [xi,xi+1][x_i,x_{i+1}] tartean trapezio sinplea aplikatzen dugu:

    Ti=h2[f(xi)+f(xi+1)]T_i=\frac{h}{2}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]

  3. Hurbilketa osoa n trapezioen batura da:

    Tn=∑i=0n−1Ti=h2∑i=0n−1[f(xi)+f(xi+1)]\begin{aligned}T_n&=\sum_{i=0}^{n-1}T_i\\&=\frac{h}{2}\sum_{i=0}^{n-1}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]\end{aligned}

  4. Batura osoa idaztean, f(x0)f(x_0) eta f(xn)f(x_n) behin agertzen dira. Barruko balio bakoitza bi aldiz agertzen da:

    Tn=h2[f(x0)+2∑i=1n−1f(xi)+f(xn)]T_n=\frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]

  5. Errore globala trapezio sinplearen errore lokalak batuz lortzen da:

    ET=−h312∑i=0n−1f′′(ξi)=−b−a12h2f′′(ξ)\begin{aligned}E_T&=-\frac{h^3}{12}\sum_{i=0}^{n-1}f''(\xi_i)\\&=-\frac{b-a}{12}h^2f''(\xi)\end{aligned}