AriketaEDAertaina

Ariketa: Euler eta RK4 eskuz lehen ordenako EDO batean

Forma inplizituan emandako EDO batean y'=f(t,y) askatu eta y(3) hurbildu Euler-en bi pausorekin eta RK4-ren pauso batekin, bi emaitzak alderatuz.

Planteamendua

$y+(t^2y-t)\,y'=0$ EDOa hartzen da, $y(1)=2$ izanik, eta $y(3)$ hurbildu nahi da. Ekuazioa ez dago forma normalean, beraz lehenik $y'$ askatzen da:

y'=f(t,y)=\frac{-y}{t^2y-t}

Euler-en bi pauso

AdibideaEuler h=1 hartuta

Aplikatu Euler esplizituaren bi pauso $h=1$ hartuta, $t_0=1$ , $y_0=2$ -tik abiatuta.

Lehen pausoa: $(1,2)$ -n izendatzaileak $1^2\cdot 2-1=1$ balio du, beraz $f(1,2)=-2/1=-2$ .
$y_1=y_0+h\,f(1,2)=2+1\cdot(-2)=0$
Bigarren pausoa: $(2,0)$ -n zenbakitzailea $-0=0$ da, beraz $f(2,0)=0$ eta soluzioa ez da aldatzen.
$y_2=y_1+h\,f(2,0)=0+0=0$

Euler-ek $h=1$ hartuta $y(3)\approx 0$ ematen du. Pausoa handiegia da: lehen jauziak soluzioa $y=0$ -ra darama, non $f$ anulatzen den, eta metodoa ez da handik ateratzen.

Runge-Kuttaren pauso bat

AdibideaRK4 h=2 hartuta

Aplikatu Runge-Kutta klasikoaren pauso bat $h=2$ hartuta, $t_0=1$ , $y_0=2$ -tik abiatuta.

Hasierako malda: $k_1=f(1,2)=-2$ .
Erdiko puntua ( $t=2$ ) $k_1$ -ekin aurrera eginez: $y=2+1\cdot(-2)=0$ , beraz $k_2=f(2,0)=0$ .
Erdiko puntua berriro, orain $k_2$ -rekin: $y=2+1\cdot 0=2$ , beraz $k_3=f(2,2)=\frac{-2}{4\cdot 2-2}=-\frac{1}{3}$ .
Amaierako muturra ( $t=3$ ) $k_3$ -rekin: $y=2+2\cdot(-\tfrac13)=\tfrac43$ , beraz $k_4=f\bigl(3,\tfrac43\bigr)=\frac{-4/3}{9\cdot\frac43-3}=-\frac{4}{27}$ .
$1,2,2,1$ pisuekiko konbinazioa:
$y_1=2+\frac{2}{6}\Bigl(-2+2\cdot 0+2\cdot\bigl(-\tfrac13\bigr)-\tfrac{4}{27}\Bigr)=2-\frac{76}{81}=\frac{86}{81}$

RK4-k $y(3)\approx\frac{86}{81}=1.0617$ ematen du. Euler-en lau pausoren ebaluazio kopuru berarekin, $y=0$ -ko kolapsoa saihesten du eta hurbilketa arrazoizkoa ematen du.