AriketaEDAaurreratua

Ariketa: ordenaren estimazio numerikoa (Euler, Heun, RK4)

PVI logistiko beraren gainean Euler-en ordena estimatzen da soluzio zehatzarekin, Heun-ena ondoz ondoko sareak alderatuz soluzio zehatzik gabe, eta RK4-rena, 1, 2 eta 4 ordenak baieztatuz.

Erreferentziazko problema

PVI logistikoa (Verhulst) erabiltzen da: $y'(t)=(3-0.1\,y)\,y$ , $[0,2]$ tartean, $y(0)=10$ izanik; haren soluzio zehatza ezaguna da eta benetako erroreak neurtzea ahalbidetzen du:

y(t)=\frac{30}{1+2e^{-3t}}

Metodo bakoitza $N=\{2,4,8,16,32,64\}$ azpitarterekin exekutatzen da eta Konbergentzia, kontsistentzia eta ordena orriko zatidura logaritmikoa aplikatzen zaie errore maximoei.

Euler, soluzio zehatzarekin

N	Errore maximoa $E_N$	$\log_2(E_{N/2}/E_N)$
2	2.7167	n/a
4	2.7167	0.0000
8	1.0659	1.3497
16	0.4878	1.1277
32	0.2361	1.0467
64	0.1164	1.0202

Euler-en erroreak soluzio zehatzaren aldean.

Heun, soluzio zehatzik gabe

Soluzio zehatzik behar ez duen teknika erakusteko, Heun-ekin soluzio diskretu bakoitza sare bikoitzekoarekin alderatzen da nodo komunetan, $\varepsilon_N=\max_k|y^{(N)}_k-y^{(2N)}_{2k}|$ :

N	$\varepsilon_N$	$\log_2(\varepsilon_{N/2}/\varepsilon_N)$
4	18.2934	n/a
8	1.9319	3.2432
16	0.3288	2.5549
32	0.0686	2.2603
64	0.0158	2.1154

Ondoz ondoko sareen arteko diferentziak Heun-ekin.

Runge-Kutta 4

N	Errore maximoa $E_N$	$\log_2(E_{N/2}/E_N)$
2	4.7316	n/a
4	0.1442	5.0362
8	6.531·10⁻³	4.4646
16	3.469·10⁻⁴	4.2347
32	1.992·10⁻⁵	4.1223
64	1.192·10⁻⁶	4.0624

RK4-ren erroreak soluzio zehatzaren aldean.