AriketaEDAaurreratua

Ariketa: Euler esplizituaren eta inplizituaren egonkortasuna

y′=λyy'=\lambda y-ren analisi osoa: metodo bakoitzaren anplifikazio-faktorea, esplizituaren h<−2/λh<-2/\lambda egonkortasun-baldintza, inplizituaren baldintzarik gabeko egonkortasuna eta λ=−10\lambda=-10 balioarekin egiaztapen numerikoa.

Anplifikazio-faktorea

y′=λyy'=\lambda y problema-eredua aztertzen da, λ<0\lambda<0 izanik (gainbeherako Malthus eredua): soluzio zehatza y(t)=yaeλty(t)=y_a e^{\lambda t} zerorantz doa, eta metodo arrazoizko batek portaera hori erreproduzitu beharko luke.

  1. f(t,y)=λyf(t,y)=\lambda y-ri aplikatutako Euler esplizituak soluzioa faktore konstante batez biderkatzen du pauso bakoitzean:

    yk+1=yk+hλyk=(1+hλ) yk  ⇒  yk=(1+hλ)k yay_{k+1}=y_k+h\lambda y_k=(1+h\lambda)\,y_k\;\Rightarrow\; y_k=(1+h\lambda)^k\,y_a

  2. Soluzio numerikoa txikitzen da baldin eta soilik baldin ∣1+hλ∣<1|1+h\lambda|<1 bada, hau da, h<−2λh<-\frac{2}{\lambda} bada. hh handiagoarekin, (1+hλ)k(1+h\lambda)^k anplitude gero eta handiagoz oszilatzen du: metodoa ezegonkorra da, kontsistentea izan arren.

  3. Euler inplizituak askapen itxia du problema lineal honetan:

    yk+1=yk+hλyk+1  ⇒  yk+1=yk1−hλy_{k+1}=y_k+h\lambda y_{k+1}\;\Rightarrow\; y_{k+1}=\frac{y_k}{1-h\lambda}

  4. λ<0\lambda<0 denez, 1−hλ=1+h∣λ∣1-h\lambda=1+h|\lambda| izendatzailea 1 baino handiagoa da h>0h>0 guztietarako: anplifikazio-faktorea 1etik behera geratzen da eta metodoa baldintzarik gabe egonkorra da.

Egiaztapen numerikoa

λ=−10\lambda=-10, y(0)=1y(0)=1 eta [0,2][0,2] hartuta (soluzio zehatza y=e−10ty=e^{-10t}), esplizituaren egonkortasun-baldintza h<0.2h<0.2 da, hau da, N>10N>10. Taulak bi metodoen errore maximoa erakusten du:

NENE_N esplizituaENE_N inplizitua
281.00000.0909
4256.00000.1599
825.62890.2036
160.53650.1579
320.16030.0922
Errore maximoa y=e−10ty=e^{-10t} soluzio zehatzaren aldean [0,2][0,2]-n.

Pauso inplizitua ebatzi kasu ez-lineal batean

AdibideaEuler inplizitua ekuazio logistikoan

Planteatu Euler inplizituaren pausoa y′=y(1−y)y'=y(1-y) ekuaziorako eta askatu yk+1y_{k+1}.

  1. Pauso inplizitua yk+1=yk+h yk+1(1−yk+1)y_{k+1}=y_k+h\,y_{k+1}(1-y_{k+1}) da. Berrantolatuz, yk+1y_{k+1}-en ekuazio koadratiko bat geratzen da:

    h yk+12+(1−h) yk+1−yk=0h\,y_{k+1}^2+(1-h)\,y_{k+1}-y_k=0

  2. Soluzio positiboetarako plus zeinuko erroa hartzen da:

    yk+1=−(1−h)+(1−h)2+4h yk2hy_{k+1}=\frac{-(1-h)+\sqrt{(1-h)^2+4h\,y_k}}{2h}

  3. Hemen pauso bakoitzeko ekuazioak soluzio itxia du; orokorrean ez dago halakorik eta g(yk+1)=0g(y_{k+1})=0 Newton-Raphson metodoarekin ebazten da.

Pauso bakoitzeko kostu gehigarria (ekuazio bat ebaztea) metodo inplizituaren baldintzarik gabeko egonkortasunaren prezioa da.