Ariketa: trapezioa eta erdiko puntua

Kalkulatu $I=\int_0^1 x^3\,dx$. Alderatu $n=2$ duen trapezio konposatua, erdiko puntu sinplea eta $n=2$ duen erdiko puntu konposatua.

1. Balio zehatza hau da:

   $$I=\int_0^1x^3\,dx=\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1=\frac14$$

2. $n=2$ duen trapezio konposatuan, $h=1/2$ eta nodoak $0,1/2,1$ dira:

   $$\begin{aligned}T_2&=\frac14\left[f(0)+2f\!\left(\frac12\right)+f(1)\right]\\&=\frac14\left[0+2\cdot\frac18+1\right]=\frac{5}{16}\end{aligned}$$

3. Erdiko puntu sinplean, tarte osoaren zentroa $m=1/2$ da:

   $$M_1=(1-0)f\!\left(\frac12\right)=\frac18$$

4. $n=2$ duen erdiko puntu konposatuan, zentroak $1/4$ eta $3/4$ dira:

   $$\begin{aligned}M_2&=\frac12\left[f\!\left(\frac14\right)+f\!\left(\frac34\right)\right]\\&=\frac12\left(\frac{1}{64}+\frac{27}{64}\right)=\frac{7}{32}\end{aligned}$$

5. Errore absolutu eta erlatiboak hauek dira:

   $$\begin{array}{c|c|c} \text{método} & |I-Q| & |I-Q|/I \\ \hline T_2 & 1/16 & 25\% \\ M_1 & 1/8 & 50\% \\ M_2 & 1/32 & 12.5\% \end{array}$$

Kalkulatu I=∫_0^{π/2} sin(x)e^{-x} dx erdiko puntu konposatuarekin, n=4 eta n=8 erabiliz.

1. Balio zehatza aurreko ariketako bera da:

   $$I=0.396060211824619$$

2. Erdiko puntuaren hurbilketak hauek dira:

   $$M_4=0.409710138362011,\qquad M_8=0.401008515076530$$

3. Haien errore absolutuak hauek dira:

   $$|E_4|=0.013649926537392,\qquad |E_8|=0.004948303251911$$