Ariketa: gainazal baten integral bikoitza

Izan bedi $f(x,y)=\sqrt{9-x^2-y^2}$ eta $R=[0,1]\times[0,1]$. Kalkulatu $\sqrt{f_x^2+f_y^2}$-ren integrala Simpson $n=m=8$ eta Gauss-Legendre $n=4$ erabiliz.

1. Deribatu partzialak hauek dira:

   $$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{9-x^2-y^2}},\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{9-x^2-y^2}}$$

2. Beraz, integrakizuna honela sinplifikatzen da:

   $$\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{9-x^2-y^2}}$$

3. Simpson bikoitzarekin eta n=m=8 erabilita, hau lortzen da:

   $$I_S=0.267814255559730$$

4. Gauss-Legendre $n=4$-rekin, $x=\frac{u+1}{2}$ eta $y=\frac{v+1}{2}$ eraldatu ondoren, hau lortzen da:

   $$I_G=0.267770529696778$$