Ariketa: Newton sistema baterako, eskuz

Hurbildu Newton-en bi pausorekin $x^2+y^2=1$, $x-y=0$ sistemaren soluzio positiboa, $x^{(0)}=(1,1)$-etik abiatuta. Soluzio zehatza $\alpha=\bigl(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\bigr)=(0.7071068,\,0.7071068)$ da.

1. Funtzioa eta jacobiarra:

   $$F(x,y)=\begin{bmatrix}x^2+y^2-1\\ x-y\end{bmatrix},\qquad F'(x,y)=\begin{bmatrix}2x & 2y\\ 1 & -1\end{bmatrix}$$

2. Lehen pausoa: $(1,1)$-en, $F=(1,0)^T$ eta $F'u=F$ sistema lineala $2u_1+2u_2=1$, $u_1-u_2=0$ da, $u=(\tfrac14,\tfrac14)$ soluzioarekin:

   $$x^{(1)}=(1,1)-\bigl(\tfrac14,\tfrac14\bigr)=(0.75,\;0.75)$$

3. Bigarren pausoa: $(0.75,0.75)$-en, $F=(0.125,\,0)^T$ eta sistema $1.5\,u_1+1.5\,u_2=0.125$, $u_1-u_2=0$ da, hau da, $u=(\tfrac{1}{24},\tfrac{1}{24})$:

   $$x^{(2)}=(0.75,\;0.75)-\bigl(\tfrac{1}{24},\tfrac{1}{24}\bigr)=(0.7083333,\;0.7083333)$$